Question

【題目】如圖，△ABC中，CA=CB，∠ACB=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求證：AB=AD+BC.

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】

證明線段的和差倍分問題常用截長補(bǔ)短的方法．在線段AB上截取BE=BC，連接DE．則只需證明AD=AE即可．結(jié)合角度證明∠ADE=∠AED．

證明：在線段BA上截取BE=BC，連接DE．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠EBD=∠ABC．

在△CBD和△EBD中 ，

∴△CBD≌△EBD（SAS），

∴∠BED=∠ACB=108°，∠CDB=∠EDB．

又∵AB=AC，∠ACB=108°，∠CAB=∠ABC=×（180°-108°）=36°，

∴∠CBD=∠EBD=18°．

∴∠CDB=∠EDB=180°-18°-108°=54°．

∴∠ADE=180°-∠CDB-∠EDB=180°-54°-54°=72°．

∴∠DEA=180°-∠DEB=180°-108°=72°．

∴∠ADE=∠AED．

∴AD=AE．

∴AB=BE+EA=CB+AD．