Question

如圖，已知直線L與⊙O相切于點(diǎn)A，直徑AB=6，點(diǎn)P在L上移動(dòng)，連接OP交⊙O于點(diǎn)C，連接BC并延長BC交直線L于點(diǎn)D．
（1）若AP=4，求線段PC的長；
（2）若△PAO與△BAD相似，求∠APO的度數(shù)和四邊形OADC的面積（答案要求保留根號(hào)）．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OAP中，根據(jù)勾股定理可將OP的長求出，減去半徑OC的長即為PC的長；
（2）如圖，根據(jù)△PAO∽△BAD，可知∠2=∠APO，再根據(jù)∠1=2∠2，利用三角形的內(nèi)角可將∠APO的度數(shù)求出；四邊形OADC的面積可通過△ABD與△BOC的面積之差求得，也可由△OAP與△CDP的面積之差求得．

解答：解：（1）∵l與⊙○相切于點(diǎn)A，
∴∠A=90°
∴OP²=OA²+AP²
∵OA=OC=

1

2

AB=3，AP=4
∴OP²=3²+4²
∴OP=5
∴PC=5-3=2；

（2）∵△PAO∽△BAD，且∠1＞∠2，∠A=∠A=90°
∴∠2=∠APO．
又∠1=2∠2，∠A=90°，
∴∠1=2∠APO，
∴∠1+∠APO=90°
即3∠APO=90°
∴∠APO=30°
在Rt△BAD中，∠2=∠APO=30°
∴AD=6tan30°=6×

3

3

=2

3

方法一：過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E
∵∠2=30°，BO=3
∴OE=

3

2

，BE=3×cos30°=

3 3

2

∴BC=2BE=3

3

∴S_{四邊形OADC}=S_△BAD-S_△BOC=

1

2

AB×AD-

1

2

BC×OE
=

1

2

×6×2

3

-

1

2

×3

3

×

3

2

=

15

4

3

；

方法二：在Rt△OAP中，AP=6tan60°=3

3

，OP=2OA=6
∴DP=AP-AD=3

3

-2

3

=

3

，PC=OP-OC=6-3=3
過點(diǎn)C作CF⊥AP于F
∵∠CPF=30°
∴CF=

1

2

PC=

3

2

∴S_{四邊形OADC}=S_△OAP-S_△CDP=

1

2

AP×OA-

1

2

DP×CF
=

1

2

（3

3

×3-

3

×

3

2

）
=

15 3

4

．

點(diǎn)評：此題考查了勾股定理的計(jì)算，相似三角形的性質(zhì)與判定，不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，其中不規(guī)則圖形的面積可通過幾個(gè)規(guī)則圖形面積相加或相減求得．