Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A（1，4），B（4，n）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求一次函數(shù)的解析式；
（3）點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PB最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（1，4）代入y= ，得：m=4，

∴反比例函數(shù)的解析式為y=

（2）解：把B（4，n）代入y= ，得：n=1，

∴B（4，1），

把A（1，4）、（4，1）代入y=kx+b，得： ，

解得： ，

∴一次函數(shù)的解析式為y=﹣x+5

（3）解：作B的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交x軸于P，此時(shí)PA+PB=AB′最小，

∵B（4，1），

∴B′（4，﹣1），

設(shè)直線AB′的解析式為y=mx+n，

∴ ，解得 ，

∴直線AB′的解析式為y=﹣ x+ ，

令y=0，得﹣ x+ =0，

解得x= ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，0）．

【解析】（1）將點(diǎn)A（1，4）代入反比例函數(shù)解析式可得其解析式；（2）先根據(jù)反比例函數(shù)解析式求得點(diǎn)B坐標(biāo)，再由A、B坐標(biāo)可得直線解析式；（3）作B的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交x軸于P，此時(shí)PA+PB=AB′最小，根據(jù)B的坐標(biāo)求得B′的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AB′的解析式，進(jìn)而求得與x軸的交點(diǎn)即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解軸對(duì)稱-最短路線問題的相關(guān)知識(shí)，掌握已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．