Question

如圖1，A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AD=4cm，AB=dcm．動(dòng)點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)D、B出發(fā)，點(diǎn)E以1cm/s的速度沿邊DA向點(diǎn)A移動(dòng)，點(diǎn)F以1cm/s的速度沿邊BC向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)F移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止移動(dòng)．以EF為邊作正方形EFGH，點(diǎn)F出發(fā)xs時(shí)，正方形EFGH的面積為ycm²．已知y與x的函數(shù)圖象是拋物線的一部分，如圖2所示．請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

（1）自變量x的取值范圍是　0≤x≤4　；

（2）d=　3　，m=　2　，n=　25　；

（3）F出發(fā)多少秒時(shí)，正方形EFGH的面積為16cm²？

Answer 1

【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象．

【專題】壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型．

【分析】（1）根據(jù)矩形的對(duì)邊相等求出BC的長，然后利用路程、速度、時(shí)間的關(guān)系求解即可；

（2）根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可知，當(dāng)點(diǎn)E、F分別運(yùn)動(dòng)到AD、BC的中點(diǎn)時(shí)，正方形的面積最小，求出d、m的值，再根據(jù)開始于結(jié)束時(shí)正方形的面積最大，利用勾股定理求出BD的平方，即為最大值n；

（3）過點(diǎn)E作EI⊥BC垂足為點(diǎn)I，則四邊形DEIC為矩形，然后表示出EI、IF，再利用勾股定理表示出EF²，根據(jù)正方形的面積得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，然后把y=16代入求出x的值，即可得到時(shí)間．

【解答】解：（1）∵BC=AD=4，4÷1=4，

∴0≤x≤4；

故答案為：0≤x≤4；

（2）根據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)E、F分別運(yùn)動(dòng)到AD、BC的中點(diǎn)時(shí)，

EF=AB最小，所以正方形EFGH的面積最小，

此時(shí)，d²=9，m=4÷2=2，

所以，d=3，

根據(jù)勾股定理，n=BD²=AD²+AB²=4²+3²=25，

故答案為：3，2，25；

（3）如圖，過點(diǎn)E作EI⊥BC垂足為點(diǎn)I．則四邊形DEIC為矩形，

∴EI=DC=3，CI=DE=x，

∵BF=x，

∴IF=4﹣2x，

在Rt△EFI中，EF²=EI²+IF²=3²+（4﹣2x）²，

∵y是以EF為邊長的正方形EFGH的面積，

∴y=3²+（4﹣2x）²，

當(dāng)y=16時(shí)，3²+（4﹣2x）²=16，

整理得，4x²﹣16x+9=0，

解得，x₁=，x₂=，

∵點(diǎn)F的速度是1cm/s，

∴F出發(fā)或秒時(shí)，正方形EFGH的面積為16cm²．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，（2）根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng)，結(jié)合二次函數(shù)圖象找出當(dāng)EF=AB時(shí)正方形的面積為最小值是解題的關(guān)鍵，（3）求出正方形EFGH的面積的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．