Question

若n為正整數(shù)，關(guān)于x的方程x²-（2n+2003）x+n²a_n=0的兩個(gè)根為α_n，β_n，且

1

αn

+

1

βn

=

3

n

，則a₂₀₀₃=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得α_n+β_n=2n+2003，α_nβ_n=n²a_n．由已知

1

αn

+

1

βn

=

3

n

，通分得

αn+βn

αnβn

=

3

n

，由此可將根與系數(shù)關(guān)系代入，得出關(guān)于a_n與n的關(guān)系式，把n=2003代入，可求a₂₀₀₃的值．

解答：解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得α_n+β_n=2n+2003，α_nβ_n=n²a_n．
又

1

αn

+

1

βn

=

3

n

，則

αn+βn

αnβn

=

3

n

，即

2n+2003

n2an

=

3

n

，
把n=2003代入上式，得

2•2003+2003

20032•a2003

=

3

2003

，解得a₂₀₀₃=

2×2003+2003

3×2003

=1．

點(diǎn)評：考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，能夠把代數(shù)式熟練整理變形．注意題干最后的a₂₀₀₃相當(dāng)于已知n=2003．