Question

（2008•太原）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+1與y=-x+3交于點(diǎn)A，分別交x軸于點(diǎn)B和點(diǎn)C，點(diǎn)D是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)△CBD為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在直線AB上是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)E，D，O，A為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，代入直線解析式求出B，C點(diǎn)坐標(biāo)．聯(lián)立方程組后可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)△CBD為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論（BD₁=D₁C；BC=BD₂；CD₃=BC，或CD₄=BC），依靠輔助線的幫助求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）本題也要借助輔助線的幫助．分為三種情況討論（當(dāng)四邊形AE₁OD₁為平行四邊形；當(dāng)四邊形AD₂E₁O為平行四邊形時(shí)；當(dāng)四邊形AOD₁E₂為平行四邊形時(shí)）．
解答：解：（1）在y=x+1中，當(dāng)y=0時(shí)，x+1=0，∴x=-1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0）． （1'）
在y=-x+3中，當(dāng)y=0時(shí)，-x+3=0，∴x=4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）． （2分）
由題意，得解得
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）．（3分）

（2）當(dāng)△CBD為等腰三角形時(shí)，有以下三種情況，如圖（1）．設(shè)動(dòng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y）．
由（1），得B（-1，0），C（4，0），∴BC=5．
①當(dāng)BD₁=D₁C時(shí)，過點(diǎn)D₁作D₁M₁⊥x軸，垂足為點(diǎn)M₁，則BM₁=M₁C=BC．
∴BM₁=，OM₁=-1=，x=．
∴y=-，點(diǎn)D₁的坐標(biāo)為．（4分）
②當(dāng)BC=BD₂時(shí)，過點(diǎn)D₂作D₂M₂⊥x軸，垂足為點(diǎn)M₂，則D₂M₂²+M₂B²=D₂B²，
∵M(jìn)₂B=-x-1，D₂M₂=-x+3，D₂B=5，
∴（-x-1）²+（-x+3）²=5²．
解得x₁=-，x₂=4（舍去）．此時(shí)，．
∴點(diǎn)D₂的坐標(biāo)為． （6分）
③當(dāng)CD₃=BC，或CD₄=BC時(shí)，同理可得D₃（0，3），D₄（8，-3）．（9分）
由此可得點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為D₁（，），D₂（-，），D₃（0，3），D₄（8，-3）．
評分說明：符合條件的點(diǎn)有4個(gè)，正確求出1個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)得（1分），2個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)得（3分），3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)得（5分），4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)得滿分；與所求點(diǎn)的順序無關(guān)．

（3）存在．以點(diǎn)E，D，O，A為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形有以下三種情形，如圖（2）．
①當(dāng)四邊形AE₁OD₁為平行四邊形時(shí)，． （10分）
②當(dāng)四邊形AD₂E₁O為平行四邊形時(shí)，=．（11分）
③當(dāng)四邊形AOD₁E₂為平行四邊形時(shí)，．（12分）
點(diǎn)評：本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，平行四邊形的判定以及線段比的有關(guān)知識(shí)，難度中上．