Question

如圖1，已知AO是等腰Rt△ABC的角平分線，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）在圖1中，∠AOC的度數為______；與線段BO相等的線段為______；
（2）將圖1中的△AOC繞點O順時針旋轉得到△A₁OC₁，如圖2，連接AA₁，BC₁，試判斷S_△AOA1與S_△BOC1的大小關系？并給出你的證明；
（3）將圖1中的△ABO繞點B順時針旋轉得到△MBN，如圖3，點P為MC的中點，連接PA、PN，求證：PA=PN．

Answer 1

（1）解：∵AB=AC，AO是∠BAC的角平分線，
∴AO⊥BC，
∴∠AOC=90°，BO=OC，
∵∠BAC=90°，
∴BO=OA=OC；

（2）S_△AOA1=S_△BOC1．
證明：過點O作MN⊥BC₁于M，交AA₁于N，
∵OB=OC₁，
∴BM=C₁M，∠BOM=∠C₁OM，
∵∠AOB=∠A₁OC₁=90°，
∴∠AON+∠BOM=∠A₁ON+∠C₁OM=90°，
∴∠AON=∠A₁ON，
∵AO=A₁O，
∴ON⊥AA₁，
∴∠A₁NO=90°=∠OMC₁，
∵在△OMC₁和△A₁ON中

∴△A₁ON≌△OC₁M（AAS），
∴△A₁ON和△OC₁M的面積相等，
同理可證△AON和△OBM的面積相等，
∴S_△AOA1=S_△BOC1；

（3）證明：延長NP至E，使PE=NP，連接CE，AN，AE，
∵點P為MC的中點，
∴MP=CP，
∵在△PCE和△PMN中
，
∴△PCE≌△PMN（SAS），
∴CE=NM=BN，∠MNP=∠PEC，
∴CE∥MN，
設EC的延長線交BN的延長線于O，
∴∠BNM=∠BOC=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴A、B、O、C四點共圓，
∴在四邊形ABOC中，∠ACE=∠ABN，
∵在△ABN和△ACE中

∴△ABN≌△ACE（SAS），
∴AN=AE，∠ABN=∠EAC，
∵∠BAC=90°=∠BAN+∠NAC=∠EAC+∠NAC=∠EAN，
即∠EAN=90°，
∵點P為NE的中點，
∴PA=PN（直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半）．
分析：（1）根據等腰三角形性質得出AO⊥BC，AO平分BC，根據直角三角形斜邊上中線性質得出AO=OB=CO；
（2）過點O作MN⊥BC₁于M，交AA₁于N，證△A₁ON≌△OC₁M，推出△A₁ON和△OC₁M的面積相等，同理可證△AON和△OBM的面積相等，即可得出答案；
（3）延長NP至E，使PE=NP，連接CE，AN，AE，證△PCE≌△PMN，推出CE=NM=BN，∠MNP=∠PEC，推出CE∥MN，C，設EC的延長線交BN的延長線于O，得出A、B、O、C四點共圓，推出∠ACE=∠ABN，證△ABN≌△ACE，推出AN=AE，∠ABN=∠EAC，求出∠EAN=90°，根據直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半推出即可．
點評：本題考查了等腰三角形性質，全等三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線性質等知識點的應用，注意：直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半．