Question

如圖所示．某校計劃將一塊形狀為銳角三角形ABC的空地進(jìn)行生態(tài)環(huán)境改造．已知△ABC的邊BC長120米，高AD長80米．學(xué)校計劃將它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如圖）．其中矩形EFGH的一邊EF在邊BC上．其余兩個頂點(diǎn)H、G分別在邊AB、AC上．現(xiàn)計劃在△AHG上種草，每平方米投資6元；在△BHE、△FCG上都種花，每平方米投資10元；在矩形EFGH上興建愛心魚池，每平方米投資4元．
（1）當(dāng)FG長為多少米時，種草的面積與種花的面積相等？
（2）當(dāng)矩形EFGH的邊FG為多少米時，△ABC空地改造總投資最小，最小值為多少？

Answer 1

分析：（1）可利用相似分別表示出相應(yīng)的三角形的底與高，讓面積相等即可
（2）把相應(yīng)的總投資用含x的代數(shù)式表示出后，求出二次函數(shù)的最值即可．

解答：解：（1）設(shè)FG=x米，則AK=（80-x）米．
由△AHG∽△ABC，BC=120，AD=80，可得：

HG

120

=

80-x

80

，
∴HG=120-

3

2

x，
BE+FC=120-（120-

3

2

x）=

3

2

x，（2分）
∴

1

2

•（120-

3

2

x）•（80-x）=

1

2

×

3

2

x•x，
解得x=40．
∴當(dāng)FG的長為40米時，種草的面積和種花的面積相等．（5分）

（2）設(shè)改造后的總投資為W元．
則W=

1

2

•（120-

3

2

x）•（80-x）•6+

1

2

×

3

2

x•x•10+x（120-

3

2

x）•4
=6x²-240x+28800
=6（x-20）²+26400
∵二次項(xiàng)系數(shù)6＞0，0＜x≤80，
∴當(dāng)x=20時，W_最小=26400．
答：當(dāng)矩形EFGH的邊FG長為20米時，空地改造的總投資最小，最小值為26400元．（8分）

點(diǎn)評：本題考查三角形相似的應(yīng)用以及二次函數(shù)的最值，需注意在做題過程中加以理解應(yīng)用．