Question

在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax²+bx-2經過（2，1）和（6，-5）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設此拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于C點，點P是在直線x=4右側的此拋物線上一點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M．若以A、P、M為頂點的三角形與△OCB相似，求點P的坐標；
（3）點E是直線BC上的一點，點F是平面內的一點，若要使以點O、B、E、F為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出點F的坐標．

Answer 1

（1）把（2，1）和（6，-5）兩點坐標代入得

4a+2b-2=1 36a+6b-2=-5.

，
解這個方程組，得

a=- 1 2 b= 5 2 .

，
故拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+

5

2

x-2；

（2）令y=0，得-

1

2

x2+

5

2

x-2=0．
解這個方程，得x₁=1，x₂=4．
∴A（1，0），B（4，0）．
令x=0，得y=-2．
∴C（0，-2）．
設P（m，-

1

2

m2+

5

2

m-2）．
因為∠COB=∠AMP=90°，
①當

OC

MA

=

OB

MP

時，△OCB∽△MAP．
∴

2

m-1

=

4

1 2 m2- 5 2 m+2

．
解這個方程，得m₁=8，m₂=1（舍）．
∴點P的坐標為（8，-14）．
②當

OC

MP

=

OB

MA

時，△OCB∽△MPA．
∴

2

1 2 m2- 5 2 m+2

=

4

m-1

．
解這個方程，得m₁=5，m₂=1（舍）．
∴點P的坐標為（5，-2）．
∴點P的坐標為（8，-14）或（5，-2）；

（3）點E是直線BC上的一點，點F是平面內的一點，若要使以點O、B、E、F為頂點的四邊形是菱形，則以OB，BE，EF為對角線作出來圖形，可得到4個菱形；得出點F的坐標為(

8

5

5

，

4

5

5

)或(-

8

5

5

，-

4

5

5

)或(

8

5

，-

16

5

)或（2，1）．