Question

【題目】若任意一個(gè)代數(shù)式，在給定的范圍內(nèi)求得的最值恰好也在該范圍內(nèi)，則稱這個(gè)代數(shù)式是這個(gè)范圍的“友好代數(shù)式”．例如：關(guān)于的代數(shù)式，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式在時(shí)有最大值，最大值為1；在時(shí)有最小值，最小值為0，此時(shí)最值1，0均在（含端點(diǎn)）這個(gè)范圍內(nèi)，則稱代數(shù)式是的“友好代數(shù)式”．

（1）若關(guān)于的代數(shù)式，當(dāng)時(shí)，取得的最大值為________；最小值為________；代數(shù)式________（填“是”或“不是”）的“友好代數(shù)式”；

（2）以下關(guān)于的代數(shù)式，是的“友好代數(shù)式”的是________；

①；②；③；

（3）若關(guān)于的代數(shù)式是的“友好代數(shù)式”，則的值是________；

（4）若關(guān)于的代數(shù)式是的“友好代數(shù)式”，求的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）3，0，不是 （2）② （3） （4）的最大值為4和最小值為0．

【解析】

（1）求出代數(shù)式的最大值和最小值，再根據(jù)友好代數(shù)式的定義進(jìn)行判斷即可；

（2）根據(jù)友好代數(shù)式的定義對(duì)各代數(shù)式進(jìn)行求解即可；

（3）分三種情況進(jìn)行求解：①；②；③，即可求出m的值；

（4）分三種情況進(jìn)行求解：①；②；③，解得，即可求出的最大值和最小值．

（1）∵

∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為3；當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為0

∴，

故代數(shù)式不是的“友好代數(shù)式”．

（2）①∵當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為3；當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為-1，

∴，

∴不是的“友好代數(shù)式”．

②∵當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為2；當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為-2，

∴，

∴是的“友好代數(shù)式”．

③∵當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為2；當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為-4，

∴，

∴不是的“友好代數(shù)式”．

故是的“友好代數(shù)式”的是②．

（3）∵關(guān)于的代數(shù)式是的“友好代數(shù)式”

∴分以下三種情況進(jìn)行討論：

①

∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為4；當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，

∴

∴不成立

②

∴，

∴

解得

∴當(dāng)成立

③

∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為-4，

∵

∴不成立

故的值是．

（4）∵關(guān)于的代數(shù)式是的“友好代數(shù)式”

∴分以下三種情況進(jìn)行討論

①

當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，

∴

解得

②

∵

∴時(shí)成立

③

當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，

∴

無(wú)解

∴

∴的最大值為4和最小值為0．