Question

已知：如圖，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，

AB

=

AF

，BF和AD交于E，過A的切線交CB的延長線于G．
求證：（1）AE=BE；（2）AB²=BG•CF．

Answer 1

分析：（1）可證∠BAE=∠ABE．連接AC，則∠ABE=∠ACF=∠ACB，所以證∠BAD=∠ACB即可．有這兩角都與∠ABD互余得證；
（2）即證AB：CF=BG：AB，因AB=AF，所以證AB：CF=BG：AF．證它們所在的△ABG、△AFC相似即可．

解答：證明：（1）連接AC．                      （1分）
∵

AB

=

AF

，
∴∠ACB=∠ABF．                          （2分）
又∵∠ACB=90°-∠ABD=∠BAD，（3分）
∴∠BAE=∠ABE．
∴AE=BE．                               （4分）

（2）∵

AB

=

AF

，
∴∠GAB=∠ACF，（5分）
又∵∠ABG=∠CFA，（6分）
∴△ABG∽△CFA．
∴AB：BG=CF：AF．                         （8分）
又∵

AB

=

AF

，∴AB=AF．
∴

AB

BG

=

CF

AB

∴AB²=BG•CF．                             （9分）

點評：此題考查了圓的有關性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，綜合性較強．證等積式常常先轉(zhuǎn)換成比例式，確定它們所在的三角形并證明三角形相似．