Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線y＝x﹣3經(jīng)過B，C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)M，連接AC，過點(diǎn)M作MN⊥AC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

①求線段MN的長d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

②點(diǎn)Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P，使以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①；②存在，t＝1或．

【解析】

（1）首先求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）①根據(jù)S△ABC＝S△AMC+S△AMB，由三角形面積公式可求y與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

②把拋物線的解析式化成頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，過點(diǎn)C作CE⊥PD于點(diǎn)E，分兩種情況討論：如圖1，當(dāng)BC為矩形的邊時(shí)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到P（t，﹣3﹣t），代入拋物線的解析式，求得t＝1；如圖2，當(dāng)BC為矩形的對(duì)角線時(shí)，證得△CPE∽△PBD，得出CEBD＝PEPD，由CE＝t，BD＝3﹣t，PD＝﹣t2+2t+3＝﹣（t+1）（t﹣3）．PE＝PD﹣DE＝﹣t2+2t﹣3＝﹣t2+2t＝﹣t（t﹣2），列出t（3﹣t）＝t（t﹣2）（t+1）（t﹣3），解得即可．

（1）由直線y＝x﹣3過B，C兩點(diǎn)，得B（3，0），C（0，﹣3），

將點(diǎn)B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c中，

得

解得

故拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）①對(duì)于y＝x2﹣2x﹣3，

當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣2x﹣3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0）

∴OA＝1，

∵OB＝OC＝3，

∴∠OBC＝∠BCO＝45°，AC＝，AB＝4．

連接AM．

∵PD⊥x軸于點(diǎn)D，

∴∠DMB＝∠GBM＝45°．

又∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，

∴DM＝DB＝3﹣t．

∵S△ABC＝S△AMC+S△AMB，

∴

即

∴

②存在，t＝1或，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4），

過點(diǎn)C作CE⊥PD于點(diǎn)E．

如圖（1），當(dāng)BC為矩形的邊時(shí)，

由∠BCP＝90°，∠BCE＝45°，可得∠EPC＝∠ECP＝45°，

∴PE＝CE＝t，

∴P（t，﹣3﹣t）．

將P（t，﹣3﹣t）代入y＝x2﹣2x﹣3，

得﹣3﹣t＝t2﹣2t﹣3，

解得t1＝0（不合題意，舍去），t2＝1．

如圖（2），當(dāng)BC為矩形的對(duì)角線時(shí)，

∵∠PCE+∠CPE＝90°，∠CPE+∠BPD＝90°，

∴∠PCE＝∠BPD，

∴△CPE∽△PBD，

∴，即CEBD＝PEPD．

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

∴CE＝t，BD＝3﹣t，PD＝﹣t2+2t+3＝﹣（t+1）（t﹣3）．PE＝PD﹣DE＝﹣t2+2t﹣3＝﹣t2+2t＝﹣t（t﹣2），

故t（3﹣t）＝t（t﹣2）（t+1）（t﹣3），

整理，得t2﹣t﹣1＝0，

解得（不合題意，舍去）．

綜上可知，t的值為1或．