Question

如圖所示，等腰梯形ABCD中，DC∥AB，對角線AC與BD交于點O，AD=DC，AC=BD=AB．
（1）若∠ABD=a，求a的度數(shù)；
（2）求證：OB²=OD•BD．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)DC∥AB，AD=DC，可以得到∠DAC=∠BAC，又等腰梯形ABCD中∠BAC=∠ABD，在等腰△ABD中，BD=AB利用三角形內(nèi)角和定理列式求解即可；
（2）根據(jù)角的度數(shù)，AD=AO=OB，△AOD∽△BAD，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求解即可．

解答：（1）解：∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AD=DC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DAB=2∠CAB=2α，
在等腰梯形ABCD中，∠CAB=∠ABD=α，
又∵BD=AB，
∴∠DAB=∠ADB，
∴在△ABD中，
α+2×2α=180°，
解得α=36°；

（2）證明：∵α=36°，
∴∠DAC=∠CAB=36°，
∠ADB=∠DAB=36°×2=72°，
∴AD=AO=OB，△AOD∽△BAD，
∴

OD

AD

=

AD

BD

，
∴AD²=OD•BD，
即OB²=OD•BD．

點評：（1）考查等腰梯形的性質(zhì)，利用等邊對等角的性質(zhì)推出角的關(guān)系再利用三角形內(nèi)角和定理求出角是解題的關(guān)鍵；
（2）根據(jù)特殊的三角形判定三角形相似，進一步運用相似三角形對應(yīng)邊成比例求解是解本題的基本思路．