Question

【題目】我們約定：對角線相等的四邊形稱之為：“等線四邊形”。

（1）①在“平行四邊形、菱形、矩形、正方形”中一定是“等線四邊形”的是___________________；

②如圖1，若四邊形是“等線四邊形”， 分別是邊的中點(diǎn)，依次連接，得到四邊形，請判斷四邊形的形狀：______________________；

（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，以為直徑作圓，該圓與軸的正半軸交于點(diǎn)，若為坐標(biāo)系中一動(dòng)點(diǎn)，且四邊形為“等線四邊形”。當(dāng)的長度最短時(shí)，求經(jīng)過三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是“等線四邊形”， 在軸的負(fù)半軸上，在軸的負(fù)半軸上，且。點(diǎn)分別是一次函數(shù)與軸，軸的交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿軸的正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度為2個(gè)單位長度/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，以點(diǎn)為圓心，半徑，單位長度作圓，問：①當(dāng)與直線初次相切時(shí)，求此時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；②當(dāng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間滿足且時(shí)，與直線相交于，求弦長的最大值。

Answer 1

【答案】（1）①矩形，正方形；②菱形；（2）；（3）①；②當(dāng)時(shí)，有最大值

【解析】

（1）①依據(jù)矩形，正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②根據(jù)三角形中位線定理，菱形的判定定理可知它一定是菱形；

（2）連接CP，與圓相交于一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在直線PC上時(shí)，PQ的長度為最短；利用勾股定理先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線PC的方程，從而算出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后得到拋物線的解析式；

（3）根據(jù)題意可知點(diǎn)B、C坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)A、D坐標(biāo)，由AD=，課求得A、D坐標(biāo)，然后求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再分別討論BC與圓P的關(guān)系，從而求出時(shí)間；再求出弦MN的長度的最大值.

解：（1）①在我們學(xué)習(xí)過的四邊形中，矩形和正方形屬于等對角線四邊形；

故答案為；矩形，正方形.

②如圖，四邊形ABCD是等線四邊形，E、F、G、H分別是各邊中點(diǎn)，

∵E、F、G、H分別是各邊中點(diǎn)，

∴EF=GH=，EH=FG=，

∵AC=BD

∴EF=GH=EH=FG，

∴四邊形EFGH是菱形.

（2）如圖，連接CP與圓E相交于一點(diǎn)，連接CE，

∵A(-2，0)，B（8,0）

∴圓心坐標(biāo)為，，

∴中，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴直線解析式為，

∴圓心E（3,0）剛好在PC上.

當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)最小，此時(shí)點(diǎn)Q在第四象限，

∴，

解得：

點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴設(shè)過拋物線為則

，

∴；

（3）依題，如圖

由直線方程令x=0，y=0可得，坐標(biāo)分別為，

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

∵AC=BD，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴中，，

∴（舍去），，

∴點(diǎn)坐標(biāo)分別為，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為；

①∴當(dāng)與初次相切時(shí)，

∴；

②當(dāng)時(shí)，逐漸增大，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，過作于點(diǎn)，

則

∴

∴當(dāng)時(shí)，有最大值。