Question

【題目】如圖（1）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點(diǎn)的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長(zhǎng)線于B1．

（1）請(qǐng)你探究： ，是否都成立？

（2）請(qǐng)你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請(qǐng)問一定成立嗎？并證明你的判斷．

（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=8，AB= ，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，試求的值．

Answer 1

【答案】（1）成立（2）成立（3）

【解析】分析: （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，則DB=CD，易得；由于∠C1AB1=60°，得∠B1=30°，則AB1=2AC1，同理可得到DB1=2DC1，易得；

（2）過B點(diǎn)作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠E=∠CAD=∠BAD，則BE=AB，并且根據(jù)相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到，而BE=AB，于是有，這實(shí)際是三角形的角平分線定理；

（3）AD為△ABC的內(nèi)角角平分線，由（2）的結(jié)論，根據(jù)相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，利用相似三角形的性質(zhì)解答即可．

詳解:

（1）等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，所以=1，

因?yàn)?/span>B1C1⊥AC于C1交AB的延長(zhǎng)線于B1，所以∠CAB=60°，∠B1=∠CAD=∠BAD=30°，所以AD=B1D，所以．這兩個(gè)等式都成立；

（2）可以判斷結(jié)論仍然成立，證明如下：

如圖所示，△ABC為任意三角形，過B點(diǎn)作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，

∵∠E=∠CAD=∠BAD，∴BE=AB，又∵△EBD∽△ACD

∴，

又∵BE=AB．

∴即對(duì)任意三角形結(jié)論仍然成立；

﹙3﹚如圖（2）所示，因?yàn)?/span>Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=，所以AB=．

∵AD為△ABC的內(nèi)角角平分線，

∴，

∵DE∥AC，

∴△DEF∽△ACF，

∴.

點(diǎn)睛: 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線被其它兩邊所截，所截得的三角形與原三角形相似；相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30°的直角三角形三邊的關(guān)系以及角平分線的性質(zhì)．