精英家教網(wǎng) > 初中數(shù)學(xué) > 題目詳情

在學(xué)習(xí)扇形的面積公式，同學(xué)們得到扇形的面積公式 $數(shù)學(xué)公式$ ，扇形有人也叫它“曲邊三角形”，其面積公式 $數(shù)學(xué)公式$ 類似于三角形的面積公式，把弧長(zhǎng)C₁看作底，把半徑R看作高就行了．當(dāng)學(xué)了扇形的面積公式后，小明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：“某小區(qū)設(shè)計(jì)的花壇如下圖中的陰影部分（扇環(huán)），它是一個(gè)大扇形去掉一個(gè)小扇形得到的，弧AB的長(zhǎng)為C₁弧CD的長(zhǎng)為C₂，AC=BD=d求花壇的面積．”受“曲邊三角形”面積公式的啟發(fā)，小明猜測(cè)扇環(huán)的面積應(yīng)該類似梯形面積公式，他猜想花壇ABCD的面積，他的猜想對(duì)嗎？如果正確，寫出推導(dǎo)過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由．

解：小明的猜想正確．
理由如下：
設(shè)∠AOB=∠COD=n°
扇形AOB的面積 $\text{[math]}$ ，
扇形COD的面積 $\text{[math]}$ ，
扇形AOB的弧長(zhǎng) $\text{[math]}$ ，
扇形COD的弧長(zhǎng) $\text{[math]}$ ．
所以扇環(huán)的面積 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （OA²-OC²）
= $\text{[math]}$ （OA-OC）（OA+OC）
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
因此，小明的猜想對(duì)．
分析：先利用扇形的面積公式和弧長(zhǎng)公式分別把扇形AOB和扇形COD的面積和弧長(zhǎng)表示出來，扇環(huán)的面積=扇形AOB的面積-扇形COD的面積，通過公式變形和線段的和差關(guān)系得到扇環(huán)面積與扇形的弧長(zhǎng)和半徑差之間的關(guān)系：S= $\text{[math]}$ （C₁+C₂）d．
點(diǎn)評(píng)：解決本題首先要牢記扇形的面積公式和弧長(zhǎng)公式以及扇形的面積與弧長(zhǎng)之間的等量關(guān)系．面積公式：S= $\text{[math]}$ ；弧長(zhǎng)公式：C= $\text{[math]}$ ；扇形的面積與弧長(zhǎng)之間的等量關(guān)系：S= $\text{[math]}$ C•r．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在學(xué)習(xí)扇形的面積公式時(shí)，同學(xué)們推得S_扇形=

nπR2

360

，并通過比較扇形面積公式與弧長(zhǎng)公式l=

nπR

180

，得出扇形面積的另一種計(jì)算方法S_扇形=

lR．接著老師讓同學(xué)們解決兩個(gè)問題：
問題Ⅰ：求弧長(zhǎng)為4π，圓心角為120°的扇形面積．
問題Ⅱ：某小區(qū)設(shè)計(jì)的花壇形狀如圖中的陰影部分，已知AB和CD所在圓心都是點(diǎn)O，弧AB的長(zhǎng)為l₁，弧CD的長(zhǎng)為l₂，AC=BD=d，求花壇的面積．
（1）請(qǐng)你解答問題Ⅰ；
（2）在解完問題Ⅱ后的全班交流中，有位同學(xué)發(fā)現(xiàn)扇形面積公式S_扇形=

lR類似于三角形面積公式；類比梯形面積公式，他猜想花壇的面積S=

（l₁+l₂）d．他的猜想正確嗎？如果正確，寫出推導(dǎo)過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在學(xué)習(xí)扇形的面積公式，同學(xué)們得到扇形的面積公式S扇=

360

•πR2=

C1R，扇形有人也叫它“曲邊三角形”，其面積公式S扇=

C1R類似于三角形的面積公式，把弧長(zhǎng)C₁看作底，把半徑R看作高就行了．當(dāng)學(xué)了扇形的面積公式后，小明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：“某小區(qū)設(shè)計(jì)的花壇如下圖中的陰影部分（扇環(huán)），它是一個(gè)大扇形去掉一個(gè)小扇形得到的，弧AB的長(zhǎng)為C₁弧CD的長(zhǎng)為C₂，AC=BD=d求花壇的面積．”受“曲邊三角形”面積公式的啟發(fā)，小明猜測(cè)扇環(huán)的面積應(yīng)該類似梯形面積公式，他猜想花壇ABCD的面積，他的猜想對(duì)嗎？如果正確，寫出推導(dǎo)過程；如果不正確，請(qǐng)說明理

由．