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        1. (2012•慶陽)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,頂點為(4,-1)的拋物線交y軸于A點,交x軸于B,C兩點(點B在點C的左側(cè)),已知A點坐標(biāo)為(0,3).
          (1)求此拋物線的解析式
          (2)過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D,如果以點C為圓心的圓與直線BD相切,請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有怎樣的位置關(guān)系,并給出證明;
          (3)已知點P是拋物線上的一個動點,且位于A,C兩點之間,問:當(dāng)點P運(yùn)動到什么位置時,△PAC的面積最大?并求出此時P點的坐標(biāo)和△PAC的最大面積.

          【答案】分析:(1)已知拋物線的頂點坐標(biāo),可用頂點式設(shè)拋物線的解析式,然后將A點坐標(biāo)代入其中,即可求出此二次函數(shù)的解析式;
          (2)根據(jù)拋物線的解析式,易求得對稱軸l的解析式及B、C的坐標(biāo),分別求出直線AB、BD、CE的解析式,再求出CE的長,與到拋物線的對稱軸的距離相比較即可;
          (3)過P作y軸的平行線,交AC于Q;易求得直線AC的解析式,可設(shè)出P點的坐標(biāo),進(jìn)而可表示出P、Q的縱坐標(biāo),也就得出了PQ的長;然后根據(jù)三角形面積的計算方法,可得出關(guān)于△PAC的面積與P點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PAC的最大面積及對應(yīng)的P點坐標(biāo).
          解答:解:(1)設(shè)拋物線為y=a(x-4)2-1,
          ∵拋物線經(jīng)過點A(0,3),
          ∴3=a(0-4)2-1,;
          ∴拋物線為;(3分)

          (2)相交.
          證明:連接CE,則CE⊥BD,
          當(dāng)時,x1=2,x2=6.
          A(0,3),B(2,0),C(6,0),
          對稱軸x=4,
          ∴OB=2,AB==,BC=4,
          ∵AB⊥BD,
          ∴∠OAB+∠OBA=90°,∠OBA+∠EBC=90°,
          ∴△AOB∽△BEC,
          =,即=,解得CE=,
          >2,
          ∴拋物線的對稱軸l與⊙C相交.(7分)

          (3)如圖,過點P作平行于y軸的直線交AC于點Q;
          可求出AC的解析式為;(8分)
          設(shè)P點的坐標(biāo)為(m,),
          則Q點的坐標(biāo)為(m,);
          ∴PQ=-m+3-(m2-2m+3)=-m2+m.
          ∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×(-m2+m)×6
          =-(m-3)2+;
          ∴當(dāng)m=3時,△PAC的面積最大為;
          此時,P點的坐標(biāo)為(3,).(10分)
          點評:此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、圖形面積的求法等知識.
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