Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．

(1)求證：△ADF∽△DEC；

(2)若AB=18，AD=，AF=，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)AE=16

【解析】

（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行線的內(nèi)錯(cuò)角），而∠AFD和∠C是等角的補(bǔ)角，由此可判定兩個(gè)三角形相似；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出CD=AB=8，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出，代入各線段長(zhǎng)度可求出DE的長(zhǎng)度，再在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求出AE的長(zhǎng)．

(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．

∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C．

在△ADF與△DEC中，

∴△ADF∽△DEC．

(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD=AB=18．

由(1)知△ADF∽△DEC，

∴，

∴DE===24．

在Rt△ADE中，由勾股定理得：

AE===16．