Question

19．如圖，在等邊△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA方向運(yùn)動(dòng)，連接PD，以PD為邊，在PD右側(cè)按如圖方式作等邊△DPF．
（1）連接DE，作FH⊥BC于點(diǎn)H，求證：△DPE≌△FDH；
（2）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，求點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑．

Answer 1

分析 （1）如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠B=60°，過(guò)D點(diǎn)作DE′⊥AB，則BE′=$\frac{1}{2}$BD=2，則點(diǎn)E′與點(diǎn)E重合，所以∠BDE=30°，DE=$\sqrt{3}$BE=2$\sqrt{3}$，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FH=DE=2$\sqrt{3}$，于是可判斷點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為一條線段，此線段到BC的距離為2$\sqrt{3}$，當(dāng)點(diǎn)P在E點(diǎn)時(shí)，作等邊三角形DEF₁，則DF₁⊥BC，當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)時(shí)，作等邊三角形DAF₂，作F₂Q⊥BC于Q，則△DF₂Q≌△ADE，所以DQ=AE=8，所以F₁F₂=DQ=8，于是得到當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為8．

解答 解：如圖，∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
過(guò)D點(diǎn)作DE′⊥AB，則BE′=$\frac{1}{2}$BD=2，
∴點(diǎn)E′與點(diǎn)E重合，
∴∠BDE=30°，DE=$\sqrt{3}$BE=2$\sqrt{3}$，
∵△DPF為等邊三角形，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠EDP+∠HDF=90°
∵∠HDF+∠DFH=90°，
∴∠EDP=∠DFH，
在△DPE和△FDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PED=∠DHF}\\{∠EDP=∠DFH}\\{DP=FD}\end{array}\right.$，
∴△DPE≌△FDH，
（2）∵△DPE≌△FDH，
∴FH=DE=2$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為一條線段，此線段到BC的距離為2$\sqrt{3}$，
當(dāng)點(diǎn)P在E點(diǎn)時(shí)，作等邊三角形DEF₁，∠BDF1=30°+60°=90°，則DF₁⊥BC，
當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)時(shí)，作等邊三角形DAF₂，作F₂Q⊥BC于Q，則△DF₂Q≌△ADE，所以DQ=AE=10-2=8，
∴F₁F₂=DQ=8，
∴當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，軌跡：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑叫點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，利用代數(shù)或幾何方法確定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)．