Question

如圖，⊙O的半徑OD經(jīng)過(guò)弦AB(不是直徑)的中點(diǎn)C，過(guò)AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)P作⊙O的切線PE，E為切點(diǎn)，PE∥OD；延長(zhǎng)直徑AG交PE于點(diǎn)H；直線DG交OE于點(diǎn)F，交PE于點(diǎn)K．

（1）求證：四邊形OCPE是矩形；

（2）求證：HK＝HG；

（3）若EF＝2，FO＝1，求KE的長(zhǎng)．

Answer 1

解：(1)∵AC＝BC，AB不是直徑，

∴OD⊥AB，∠PCO＝90°

∵PE∥OD,∴∠P＝90°，

∵PE是切線，∴∠PEO＝90°，

∴四邊形OCPE是矩形.

(2)∵OG＝OD,∴∠OGD＝∠ODG.

∵PE∥OD,∴∠K＝∠ODG.

∵∠OGD＝∠HGK,∴∠K＝∠HGK,

∴HK＝HG.

(3)∵EF＝2，OF＝1,∴EO＝DO＝3.

∵PE∥OD，∴∠KEO＝∠DOE，∠K＝∠ODG.

∴△OFD∽△EFK，∴EF∶OF＝KE∶OD＝2∶1,

∴KE＝6.