Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A點B已知滿足.

(1)點A的坐標為_________，點B的坐標為__________；

(2)如圖1，點E為線段OB上一點，連接AE，過A作AF⊥AE，且AF=AE，連接BF交軸于點D，若點D(-1,0)，求點E的坐標；

(3)在(2)的條件下，如圖2，過E作EH⊥OB交AB于H，點M是射線EH上一點(點M不在線段EH上)，連接MO，作∠MON=45°，ON交線段BA的延長線于點N，連接MN，探究線段MN與OM的關系,并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）（-4,0） （0，-4）

（2）E（0，-2）

（3）MN⊥OM,MN=OM

【解析】

（1）先將式子變形為完全平方公式的形式，再根據(jù)平方的非負性求解;

（2）如圖1中，作FH⊥OA于H，由△AFH≌△EAO，推出FH=OA,由△FDH≌△BDO,推出AH=OH=OE=2;

（3）連接OH，OM與BN交于G，由△NGO∽△MGH，推出=,再推出=,再得出△NGM∽△OGH，推出∠NMG=∠OHG=90°，推出△OMN是等腰直角三角形即可解決問題.

（1）∵=0,

∴a=-4,b=-4,

∴點A的坐標為（-4,0），點B的坐標為（0，-4）

（2）作FH⊥OA于H，

∵AF⊥AE，

∴∠FAE=∠AHF=∠AOE=90°，

∴∠FAH+∠OAE=90°，∠FAH+∠AFH=90°，

∴∠AFH=∠OAE,

∵AF=OA，

∴△AFH≌△EAO，

∴FH=OA，

∵點A（-4,0），點B（0，-4）

∴FH=OA=OB=4，

∵∠FHD=∠BOD=90°，∠FDH=∠BDO,

∴△FDH≌△BDO，

∴OD=DH=1，

∴AH=OH=OE=2，

∴E（0，-2）

（3）結論：MN=OM,MN⊥OM，

理由：連接OH，OM與BN交于G，

∵OA=OB,∠AOB=45°，

∴∠OAB=45°

∵OE=EB=2，EH∥OA,

∴AH=BH,OH⊥AB,∠AHM=∠OAB=45°，

∵∠MON=45°

∴∠GON=∠GHM,

∵∠NGO=∠MGH,

∴△NGO∽△MGH，

∴=,

∴=,

∵∠NGM=∠OGH,

∴△NGM∽△OGH，

∴∠NMG=∠OHG=90°，

∴△OMN是等腰直角三角形

∴MN=OM,MN⊥OM.