Question

（2012•朝陽(yáng)）如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一折線段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=4，EF=8，F(xiàn)C=12，則正方形與其外接圓形成的陰影部分的面積為

80π-160

．

Answer 1

分析：首先連接AC，則可證得△AEM∽△CFM，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得EM與FM的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得AM與CM的長(zhǎng)，則可求得正方形與圓的面積，則問題得解．

解答：解：連接AC，
∵AE丄EF，EF丄FC，
∴∠E=∠F=90°，
∵∠AME=∠CMF（對(duì)頂角相等），
∴△AEM∽△CFM，
∴

AE

CF

=

EM

FM

，
∵AE=4，F(xiàn)C=12，
∴

EM

FM

=

1

3

，
∴EM=2，F(xiàn)M=6，
在Rt△AEM中，AM=

AE2 +EM2

=2

5

，
在Rt△FCM中，CM=

CF2  +FM2

=6

5

，
∴AC=8

5

，
在Rt△ABC中，AB=AC•sin45°=8

5

×

2

2

=4

10

，
∴S_{正方形ABCD}=AB²=160，
圓的面積為：π•（

8 5

2

）²=80π，
∴正方形與其外接圓之間形成的陰影部分的面積為80π-160．
故答案為：80π-160．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形與圓的面積的求解方法，以及勾股定理的應(yīng)用．此題綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．