Question

如圖所示，AB，AC與⊙O相切于點(diǎn)B，C，點(diǎn)P是圓上異于B、C的一動(dòng)點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是（　　）

A．65°

B．115°

C．65°或115°

D．130°或50°

Answer 1

分析：此題分為兩種情況，如圖p點(diǎn)的位置有兩個(gè)，所以∠BPC可能是銳角，也有可能是鈍角，分別連接O、C；O、B；B、P₁；B、P₂；C、P₁；C、P₂各點(diǎn)
（1）當(dāng)∠BPC為銳角，也就是∠BP₁C時(shí)，根據(jù)AB，AC與⊙O相切，結(jié)合已知條件，在△ABC中，即可得出圓心角∠COB的度數(shù)，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角為圓心角的一半，即可得出∠BP₁C的度數(shù)（2）如果當(dāng)∠BPC為鈍角，也就是∠BP₂C時(shí)，根據(jù)⊙O的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可得出∠BP₂C的度數(shù)．

解答：解：分別連接O、C；O、B；B、P₁；B、P₂；C、P₁；C、P₂各點(diǎn)
（1）當(dāng)∠BPC為銳角，也就是∠BP₁C時(shí)：
∵AB，AC與⊙O相切于點(diǎn)B，C兩點(diǎn)
∴OC⊥AC，OB⊥AB，
∵∠A=50°，
∴在△ABC中，∠COB=130°，
∵在⊙O中，∠BP₁C為圓周角，
∴∠BP₁C=65°，
（2）如果當(dāng)∠BPC為鈍角，也就是∠BP₂C時(shí)
∵四邊形BP₁CP₂為⊙O的內(nèi)接四邊形，
∵∠BP₁C=65°，
∴∠BP₂C=115°，
故∠BPC的度數(shù)是65°或115°．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，在解題過(guò)程中還要注意對(duì)圓的內(nèi)接四邊形、圓周角、圓心角的有關(guān)性質(zhì)的綜合應(yīng)用