Question

如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點P，C是⊙O上一點，連接PC交AB于點E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）試判斷PD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若

BC

：

AC

=1：2，求AE：EB：BD的值（請你直接寫出結果）；
（3）若點C是弧AB的中點，已知AB=4，求CE•CP的值．

Answer 1

分析：（1）連OP，根據(jù)圓周角定理得到∠AOP=2∠ACP=120°，則∠PAO=∠APO=30°，利用PA=PD得到∠D=∠PAD=30°，則∠APD=180°-30°-30°=120°，于是得到∠OPD=120°-30°=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到PD是⊙O的切線；
（2）連BC，由AB為直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB=90°，利用

BC

：

AC

=1：2，則∠ABC=2∠BAC，所以有∠BAC=30°，∠ABC=60°，而∠PAE=30°，得到AE垂直平分PC，設BE=x，然后利用含30°的直角三角形三邊的關系可求出AE：EB：BD的值；
（3）根據(jù)圓周角定理由弧AC=弧BC，得到∠CAB=∠APC，OC⊥AB，根據(jù)相似三角形的判定方法易得△ACE∽△PCA，則

AC

PC

=

CE

AC

，即AC²=PC•CE，利用勾股定理有A0²+OC²=AC²=8，即可得到CE•CP的值．

解答：解：（1）PD與⊙O相切．理由如下：
連接OP，
∵∠ACP=60°，
∴∠AOP=120°，
而OA=OP，
∴∠PAO=∠APO=30°，
∵PA=PD，
∴∠D=∠PAD=30°，
∴∠APD=180°-30°-30°=120°，
∴∠OPD=120°-30°=90°，
∵OP為半徑，
∴PD是⊙O的切線；
（2）連BC，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵

BC

：

AC

=1：2，
∴∠ABC=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
而∠PAE=30°，
∴∠APE=∠DPE=60°，
∴AE垂直平分PC，如圖，
設BE=x，在Rt△BCE中，∠BCE=30°，則BC=2BE=2x，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=2BC=4x，
∴AE=AB-BE=3x，
∵PA=PD，PE⊥AD，
∴AE=DE，
∴DB=3x-x=2x，
∴AE：EB：BD的值為3：1：2；

（3）如圖，連接OC，
∵弧AC=弧BC，CO⊥AD，
∴∠CAB=∠APC，OC⊥AB，
而∠C=∠C，
∴△ACE∽△PCA，
∴

AC

PC

=

CE

AC

，即AC²=PC•CE，
∵A0²+OC²=AC²=8，
∴PC•CE=AC²=8．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的判定定理、圓周角定理等是解決圓的綜合題的關鍵；運用相似三角形的判定與性質、勾股定理以及含30°的直角三角形三邊的關系是解決幾何計算常用的方法；對于綜合題一般采用各個擊破的方式解決．