Question

已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，點(diǎn)D在邊BC上，AD平分∠CAB，E為AC上的一個動點(diǎn)（不與A、C重合），EF⊥AB，垂足為F．
（1）求證：AD=DB；
（2）設(shè)CE=x，BF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)∠DEF=90°時，求BF的長？

Answer 1

分析：（1）求出∠CAB、∠DAB，推出∠DAB=∠B即可；
（2）求出AE=6-x，AF=

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AE=

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2

(6-x)，根據(jù)勾股定理求出AB，即可求出答案；
（3）求出DE=2x，求出AE=DE=6-x，得到方程，求出方程的解，即可求出答案．

解答：（1）證明：在△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
又∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=∠DAC=

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2

∠CAB=30°，
∴∠DAB=∠B，
∴AD=DB．

（2）解：在△AEF中，∵∠AFE=90°，∠EAF=60°，
∴∠AEF=30°，
∴AE=AC-EC=6-x，AF=

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2

AE=

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2

(6-x)，
在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AC=6，
∴AB=12，
∴BF=AB-AF=12-

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2

(6-x)=9+

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x，
∴y=9+

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x，
答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y=9+

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x（0＜x＜6）．

（3）解：當(dāng)∠DEF=90°時，∠CED=180°-∠AEF-∠FED=60°，
∴∠EDC=30°，ED=2x，
∵∠C=90°，∠DAC=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠EDA=60°-30°=30°=∠DAE，
∴ED=AE=6-x．
∴有2x=6-x，得x=2，
此時，y=9+

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2

×2=10，
答：BF的長為10．

點(diǎn)評：本題主要考查對等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理，三角形的角平分線性質(zhì)，含30度角的直角三角形等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．