Question

【題目】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，點(diǎn)D為上的動(dòng)點(diǎn)，且cos∠ABC＝．

（1）求AB的長(zhǎng)度；

（2）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，弦AD的延長(zhǎng)線交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，問(wèn)ADAE的值是否變化？若不變，請(qǐng)求出ADAE的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BD，求證：BH＝CD+DH．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不變，；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）作AM垂直于BC，由AB=AC，利用三線合一得到CM等于BC的一半，求出CM的長(zhǎng)，再由cosB的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出AB的長(zhǎng)即可；
（2）連接DC，由等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到一對(duì)角相等，根據(jù)一對(duì)公共角，得到三角形EAC與三角形CAD相似，由相似得比例求出所求即可；
（3）在BD上取一點(diǎn)N，使得BN=CD，利用SAS得到三角形ACD與三角形ABN全等，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等及等量代換即可得證．

解：（1）作AM⊥BC，

∵AB＝AC，AM⊥BC，BC＝2BM，

∴CM＝BC＝1，

∵cosB＝ ，

在Rt△AMB中，BM＝1，

∴AB＝ ；

（2）連接DC，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC，

∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，

∴∠ADC+∠ABC＝180°，

∵∠ACE+∠ACB＝180°，

∴∠ADC＝∠ACE，

∵∠CAE公共角，

∴△EAC∽△CAD，

∴ ，

∴ADAE＝AC2＝10；

（3）在BD上取一點(diǎn)N，使得BN＝CD，

在△ABN和△ACD中

，

∴△ABN≌△ACD（SAS），

∴AN＝AD，

∵AN＝AD，AH⊥BD，

∴NH＝HD，

∵BN＝CD，NH＝HD，

∴BN+NH＝CD+HD＝BH．