Question

（2010•黃巖區(qū)模擬）一副三角板如圖擺放，點(diǎn)F是45°角三角板ABC的斜邊的中點(diǎn)，AC=4．當(dāng)30°角三角板DEF的直角頂點(diǎn)繞著點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，直角邊DF，EF分別與AC，BC相交于點(diǎn)M，N．在旋轉(zhuǎn)過程中有以下結(jié)論：①M(fèi)F=NF：②四邊形CMFN有可能為正方形；③MN長(zhǎng)度的最小值為2；④四邊形CMFN的面積保持不變；⑤△CMN面積的最大值為2．其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：利用兩直角三角形的特殊角、性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別判斷每一個(gè)結(jié)論，找到正確的即可．

解答：解：①∵F為AB中點(diǎn)
∴AF=BF（1分）
∵∠AFM=45°，∠DFE=90°
∴∠BFN=180-∠AFM-∠DFE
=180-45°-90°=45°
∴∠AFM=∠BFN（2分）
在△AFM和△FBN中

∠B=∠A(已知) AF=BF ∠AFM=∠BFN

∴△AFM≌△BFN（ASA）
∴MF=NF（3分）
故①正確；
②當(dāng)MF⊥AC時(shí)，四邊形MFNC是矩形，此時(shí)MA=MF=MC，根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形可知②正確；
③連接MN，當(dāng)M為AC的中點(diǎn)時(shí)，CM=CN，根據(jù)邊長(zhǎng)為4知CM=CN=2，此時(shí)MN最小，最小值為2

2

，故③錯(cuò)誤；
④當(dāng)M、N分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△AMF
∴S_{四邊形CDFE}=S_△AFC．
故④正確；
⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此當(dāng)DM最小時(shí)，DN也最�。�
即當(dāng)DF⊥AC時(shí)，DM最小，此時(shí)DN=

1

2

BC=2．
∴DN=

2

DN=2

2

；
當(dāng)△CEF面積最大時(shí)，此時(shí)△DEF的面積最�。�
此時(shí)S_△CMN=S_{四邊形CFMN}-S_△FMN=S_△AFC-S_△DEF=4-2=2，
故⑤正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)有等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大，是一道難題．