Question

如圖，BC是半圓的直徑，O為圓心，A是半圓上弧BF的中點(diǎn)，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD與BF交于一點(diǎn)E，BA與CF交于點(diǎn)N．
（1）依據(jù)圖中現(xiàn)有的線段，找出所有的相等線段（半徑除外）；
（2）證明（1）中的任意一組相等線段．
（3）證明：BF=2AD．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得相等線段有：AE=BE，AB=AF，CN=CB；
（2）連接AC，易證得∠BAD=∠BCA，由A是半圓上弧BF的中點(diǎn)，可得AB=AF，又可得∠BAD=∠ABE，則可得AE=BE，然后由三線合一，可得CB=AN；
（3）連接OA，易證得△OAD≌△OBG，繼而可得BF=2AD．

解答：解：（1）相等線段有：AE=BE，AB=AF，CN=CB；

（2）證明：連接AC，
∵BC是直徑，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠BCA=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠BCA，
∵A是半圓上弧BF的中點(diǎn)，
∴

AB

=

AF

，
∴AB=AF；∠BCA=∠ABE，
∴∠BAD=∠ABE，
∴AE=BE；
∵∠BCA=∠ECA，CA⊥AN，
∴∠N=∠ABC，
∴CN=CB；

（3）證明：連接OA，交BF于點(diǎn)G，
∵A是弧BF的中點(diǎn)，O為圓心，
∴OA⊥BF，
∴BG=

1

2

BF，
∵AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠ADO=∠BGO=90°，
在△OAD與△OBG中，

∠ADO=∠BGO ∠AOD=∠BOG OA=OB

，
∴△OAD≌△OBG（AAS），
∴AD=BG，
∴BF=2AD．

點(diǎn)評：此題考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．