Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象相交于C，D兩點(diǎn)，分別過(guò)C，D兩點(diǎn)作y軸，x軸的垂線，垂足為E，F(xiàn)，連接CF，DE．有下列四個(gè)結(jié)論：
①△CEF與△DEF的面積相等；
②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；
④AC=BD．
其中正確的結(jié)論是

 

．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：此題要根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，解決此題的關(guān)鍵是要證出CD∥EF，可從①問(wèn)的面積相等入手；△DFE中，以DF為底，OF為高，可得S_△DFE=

1

2

|x_D|•|y_D|=

1

2

k，同理可求得△CEF的面積也是

1

2

k，因此兩者的面積相等；若兩個(gè)三角形都以EF為底，那么它們的高相同，即E、F到AD的距離相等，由此可證得CD∥EF，然后根據(jù)這個(gè)條件來(lái)逐一判斷各選項(xiàng)的正誤．

解答：解：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，

k

x

），則F（x，0）．
由函數(shù)的圖象可知：x＞0，k＞0．
∴S_△DFE=

1

2

DF•OF=

1

2

|x_D|•|

k

xD

|=

1

2

k，
同理可得S_△CEF=

1

2

k，
故S_△DEF=S_△CEF．
若兩個(gè)三角形以EF為底，則EF邊上的高相等，故CD∥EF．
①由上面的解題過(guò)程可知：①正確；
②∵CD∥EF，即AB∥EF，∴△AOB∽△FOE，故②正確；
③條件不足，無(wú)法得到判定兩三角形全等的條件，故③錯(cuò)誤；
④法一：∵CD∥EF，DF∥BE，
∴四邊形DBEF是平行四邊形，
∴S_△DEF=S_△BED，
同理可得S_△ACF=S_△ECF；
由①得：S_△DBE=S_△ACF．
又∵CD∥EF，BD、AC邊上的高相等，
∴BD=AC，④正確；
法2：∵四邊形ACEF，四邊形BDEF都是平行四邊形，
而且EF是公共邊，
即AC=EF=BD，
∴BD=AC，④正確；
因此正確的結(jié)論有3個(gè)：①②④．

點(diǎn)評(píng)：此題通過(guò)反比例函數(shù)的性質(zhì)來(lái)證圖形的面積相等，根據(jù)面積相等來(lái)證線段的平行或相等，設(shè)計(jì)巧妙，難度較大．