Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A在x軸上，AB＝AC，∠BAC＝90°，且A（2，0）、B（3，3），BC交y軸于M，

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）連接AM，求△AMB的面積；

（3）在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)PB+PM的值最小時(shí)，求此時(shí)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）C的坐標(biāo)是（﹣1，1）；（2）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）．

【解析】

（1）作CD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝AE，AD＝BE，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，得到OM的長(zhǎng)，根據(jù)梯形的面積公式、三角形的面積公式計(jì)算，得到答案；

（3）根據(jù)軸對(duì)稱的最短路徑問(wèn)題作出點(diǎn)P，求出直線B的解析式，根據(jù)x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）如圖，作CD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，

∴∠CAD+∠DCA＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠CAD+∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠ACD，

在和中，

，

∴≌（AAS），

∴CD＝AE，AD＝BE，

∵A（2，0）、B（3，3），

∴OA＝2，OE＝BE＝3，

∴CD＝AE＝1，OD＝AD﹣OA＝1，

∴C的坐標(biāo)是（﹣1，1）；

（2）如圖，作BE⊥x軸于E，

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，

∵B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3），C點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，1），

∴，

解得，，

∴直線BC的解析式為y＝x+，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，

∴OM＝，

∴的面積＝梯形MOEB的面積﹣的面積﹣的面積

＝×（+3）×3﹣×2×﹣×1×3

＝；

（3）如圖，作M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)（0，﹣），連接B，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PB+PM=PB+P=B的值最小，

設(shè)直線B的解析式為y＝mx+n，

則，

解得，，

∴直線B的解析式為y＝x﹣，

點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）．