Question

如圖所示，在直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A （1，0），對角線的交點P（

5

2

，1）
（1）寫出B、C、D三點的坐標；
（2）若在線段AB上有一點 E（3，0），過E點的直線將矩形ABCD的面積分為相等的兩部分，求直線的解析式；
（3）若過C點的直線l將矩形ABCD的面積分為4：3兩部分，并與y軸交于點M，求M點的坐標．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性質結合頂點A （1，0），對角線的交點P（

5

2

，1），利用中點坐標公式即可求出C點坐標，同理求出C和D點坐標；
（2）設直線解析式為y=kx+b，若過E點的直線將矩形ABCD的面積分為相等的兩部分，則直線必定過P點，求出k和b的值即可；
（3）首先求出矩形的面積，過C點的直線l將矩形ABCD的面積分為4：3兩部分，求出直線與AD或AB的交點坐標，分別設出直線的解析式，求出對應的系數(shù)，即可求出M點的坐標．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，頂點A （1，0），對角線的交點P（

5

2

，1），
∴

1+xC

2

=

5

2

，y_D=2，
∴C點坐標為（4，2），B點坐標為（4，0），D點坐標為（1，2）；

（2）設直線解析式為y=kx+b，
∵過E點的直線將矩形ABCD的面積分為相等的兩部分，
∴該直線經過點P（

5

2

，1），
由題意得

5 2 k+b=1 3k+b=0

，
解得k=-2，b=6，
∴直線解析式為y=-2x+6；

（3）由題意知，矩形ABCD的面積為6，如圖1
∵過C點的直線l將矩形ABCD的面積分為4：3兩部分，
∴S_△CDN=

1

2

DC•DN=

1

2

×3×DN=

3

7

×6，
∴DN=

12

7

，
∴N點坐標為（1，

2

7

），
∴直線經過N點和C點，
設經過AD邊的直線解析式為y=mx+n，
由題意得

4m+n=2 m+n= 2 7

，
解得m=

4

7

，n=-

2

7

，
∴直線與y軸交點M的坐標為（0，-

2

7

）；


過C點的直線l將矩形ABCD的面積分為4：3兩部分，如圖2
∴S_△CBN=

1

2

BC•BN=

1

2

×2×BN=

3

7

×6，
解得BN=

18

7

，
∴AN=

3

7

，
∴N點坐標為（

10

7

，0），
設經過AB邊的直線解析式為y=ax+b，
由題意得

4a+b=2 10 7 a+b=0

，
解得a=

7

9

，b=-

10

9

，
∴直線與y軸交點M的坐標為（0，-

10

9

）；
綜上所述M點坐標為（0，-

2

7

）或（0，-

10

9

）．

點評：本題主要考查一次函數(shù)的綜合題的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握中點坐標公式以及函數(shù)解析式的求法，特別是第（3）小問有兩種可能性，此題難度不大，但是常考的試題．