Question

（2013•鞍山）如圖，點A、B在⊙O上，直線AC是⊙O的切線，OC⊥OB，連接AB交OC于點D．
（1）AC與CD相等嗎？為什么？
（2）若AC=2，AO=

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，求OD的長度．

Answer 1

分析：（1）AC=CD，理由為：由AC為圓的切線，利用切線的性質得到∠OAC為直角，再由OC與OB垂直，得到∠BOC為直角，由OA=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，再利用對頂角相等及等角的余角相等得到一對角相等，利用等角對等邊即可得證；
（2）由ODC=OD+DC，DC=AC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的長．

解答：解：（1）AC=CD，理由為：
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠B，
∵直線AC為圓O的切線，
∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°，
∵OB⊥OC，
∴∠BOC=90°，
∴∠ODB+∠B=90°，
∵∠ODB=∠CDA，
∴∠CDA+∠B=90°，
∴∠DAC=∠CDA，
則AC=CD；

（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=

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，OC=OD+DC=OD+2，
根據(jù)勾股定理得：OC²=AC²+AO²，即（OD+2）²=2²+（

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）²，
解得：OD=1．

點評：此題考查了切線的性質，勾股定理，等腰三角形的性質，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．