Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知，．

求拋物線的表達式；

在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；

點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，滿足條件的P點坐標為或或；（3）當時，有最大值，最大值為，此時E點坐標為．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；

（2）可設出P點坐標，從而可表示出PC、PD的長，由條件可得PC=CD或PD=CD，可得到關于P點坐標的方程，可求得點P的坐標；

（3）根據(jù)拋物線的解析式求得B點的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，可設出點E的坐標，則可表示出點F的坐標，進而表示出EF的長度，則可表示出△CBF的面積，從而可表示出四邊形CDBF的面積，利用二次函數(shù)的性質，可求得其最大值及此時E點的坐標.

把，代入得，解得，

拋物線解析式為；

存在．

拋物線的對稱軸為直線，

則，

，

如圖1，當時，則；

當時，則，，

綜上所述，滿足條件的P點坐標為或或；

當時，，解得，，則，

設直線BC的解析式為，

把，代入得，解得，

直線BC的解析式為，

設，則，

，

，

而，

，

當時，有最大值，最大值為，此時E點坐標為．