Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于⊙C的發(fā)散點(diǎn)的定義如下：若在射線CP上存在一點(diǎn)P′，滿足CP＋CP′＝3r，則稱P′為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的發(fā)散點(diǎn).下圖為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的發(fā)散點(diǎn)P′的示意圖.特別地，當(dāng)點(diǎn)P′與圓心C重合時(shí)，規(guī)定CP′＝0.

根據(jù)上述材料，請(qǐng)你解決以下問題：

（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，

①在點(diǎn)關(guān)于⊙O的發(fā)散點(diǎn)的是點(diǎn) ；其對(duì)應(yīng)發(fā)散點(diǎn)的坐標(biāo)是 ；

②點(diǎn)P在直線上，若點(diǎn)P關(guān)于⊙O的發(fā)散點(diǎn)P′存在，且點(diǎn)P′不在x軸上，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m的取值范圍；

（2）⊙C的圓心C在x軸上，半徑為1，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B.若線段AB上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P關(guān)于⊙C的發(fā)散點(diǎn)P′在⊙C的內(nèi)部，請(qǐng)直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)n的取值范圍 .

Answer 1

【答案】（1）N,T ，（0，0）；（2）<m<3.

【解析】

(1)①根據(jù)發(fā)散點(diǎn)的定義依次進(jìn)行判斷即可；②由OP≤3r=3，得出OP2≤9，設(shè)P（m，），由勾股定理得出OP2=m2+（）2=4m2-18m+27≤9，解不等式得出≤m≤3．再分別將m=與3代入檢驗(yàn)即可；
（2）先由已知條件求出A（9，0），B（0，3）,則，∠OBA=60°，∠OAB=30°．再設(shè)C（n，0），分兩種情況進(jìn)行討論：①C在OA上；②C在A點(diǎn)右側(cè)．

解：（1）①設(shè)點(diǎn)M（3，1）的發(fā)散點(diǎn)為M’，則根據(jù)發(fā)散點(diǎn)的定義可得：OM+OM’=3,

OM==,

∴OM’=3-<0.

故不符合題意，點(diǎn)M（3，1）不存在關(guān)于⊙O的發(fā)散點(diǎn).

同理可求得：設(shè)點(diǎn)N關(guān)于⊙O的發(fā)散點(diǎn)為N’，則

ON+ON’=3,

∴ON’=3-=

∴點(diǎn)N關(guān)于⊙O的發(fā)散點(diǎn)N’的坐標(biāo)為；

設(shè)點(diǎn)T(2,1) 關(guān)于⊙O的發(fā)散點(diǎn)為T’,

則OT+OT’=3,

∴OT’=3-=0

∴點(diǎn)T(2,1) 關(guān)于⊙O的發(fā)散點(diǎn)為T’的坐標(biāo)為（0，0）

故答案為：N,T ，（0，0）；

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，），

∵OP≤3，

∴≤9.

∴+≤9

整理得：-≤0

解得：≤m≤3.

又∵點(diǎn)P不在軸上，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m的取值范圍<m<3；

（2）令y=0，則，解得x=9，

∴A的坐標(biāo)為（9，0）

令x=0，則y=3，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）.

∴，

∴∠OBA=60°，∠OAB=30°．

設(shè)C的坐標(biāo)為（n，0）

當(dāng)點(diǎn)C在OA上時(shí)，作CD⊥AB于D，則

CD≤CP≤3r=3

∴AC=2CD≤6

∴9-n≤6解得n≥3

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A右邊時(shí)，AC的最大值為3.

∴C的橫坐標(biāo)n≤12.

綜上所述，圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍是≤m≤3．