Question

【題目】閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：

（1）如圖1，AC∥BD，點(diǎn)E為直線AC上方一點(diǎn)，連接CE、DE，猜想∠C、∠D、∠E的數(shù)量關(guān)系，并證明.小明發(fā)現(xiàn)，可以過(guò)點(diǎn)E作MN∥AC來(lái)解決問(wèn)題，如圖2，請(qǐng)你完成解答：

（2）用學(xué)過(guò)的知識(shí)或參考小明的方法，解決下面的問(wèn)題：

如圖3，AB∥CD，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AP、CP，使AP∥BD，∠APC=100°，BM、CM分別平分∠ABD，∠DCP交于點(diǎn)M，求∠M的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）∠CMB=140°.見(jiàn)解析.

【解析】

(1)過(guò)點(diǎn)E作MN∥AC, 從而得到MN//AC//BD,再由平行線的性質(zhì)得到：∠NED=∠D，∠NEC=∠C，從而得到∠D=∠C+∠CED;

(2) 過(guò)點(diǎn)M作EF∥CD,過(guò)點(diǎn)P作HQ∥CD則EF∥HQ∥CD∥AB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到∠APC=180°-∠CPH-∠APQ，從而求得度數(shù).

(1)證明：過(guò)點(diǎn)E作MN∥AC

∵AC∥BD

∴MN∥BD

∴∠NED=∠D

∵MN∥AC

∴∠NEC=∠C

∵∠NED=∠NEC+∠CED

∴∠D=∠C+∠CED;

（2）解：過(guò)點(diǎn)M作EF∥CD,過(guò)點(diǎn)P作HQ∥CD, 如圖:

∵AB∥CD

∴EF∥HQ∥CD∥AB.

∵BM、CM分別平分∠ABD，∠DCP

∴設(shè)∠ABM=∠MBN=α,∠DCM=∠MCP=β

∵CD∥EF

∴∠DCM=∠CME=β

∵AB∥EF

∴∠ABM=∠BMF=α

∴∠CMB=180°-∠CME-∠BMF=180°-α-β

∵CD∥HQ

∴∠DCP=∠CPH=2α

∵AB∥HQ

∴∠BAP+∠APQ=180°

∵BN∥AP

∴∠BAP+∠ABN=180°

∴∠APQ=∠ABN=2β

∴∠APC=180°-∠CPH-∠APQ=180°-2α-2β=100°

∴α+β=40°

∴∠CMB=180°-α-β=140°.