Question

（2012•南通二模）如圖，已知直線y=

1

2

x+2分別交x軸、y軸于A、B兩點，將△OAB繞坐標原點O順時針旋轉90°得到△OCD．拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、C、D三點．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）若將該拋物線向下平移m（m＞0）個單位長度，使得頂點落在△OAB內部（不包含△OAB的各條邊）時，求m的取值范圍；
（3）設直線AB與該拋物線的另一個交點為Q，若在x軸上方的拋物線上存在相異的兩點P₁、P₂，使△P₁AQ與△P₂AQ的面積相等，且等于t，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先求得直線與x，y軸的交點坐標，即可求得OA，OB的長，則A，B，C，D的坐標即可求得，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）首先求得拋物線的頂點坐標，以及拋物線與直線y=

1

2

x+2的交點坐標，據(jù)此即可求得m的范圍；
（3）△P₁AQ與△P₂AQ 的面積相等，則t的最大值一定是拋物線在直線y=

1

2

x+2的上面的部分到直線的距離的最大值，到直線y=

1

2

x+2的距離最大的點，一定與直線平行且與拋物線只有一個公共點，可以設出直線的解析式，直線與拋物線組成的方程組只有一個解，利用判別式即可求解．兩直線之間的距離就是最大值．

解答：解：（1）在y=

1

2

x+2中，令x=0，解得y=2，則OB=OD=2；
令y=0，得：

1

2

x+2=0，
解得：x=-4，則OA=OC=4，
故A的坐標是（-4，0），B的坐標是（0，2），C的坐標是：（0，4），D的坐標是：（2，0）．
設拋物線的解析式是：y=ax²+bx+c，根據(jù)題意得：

16a-4b+c=0 c=4 4a+2b+c=0

，
解得：

a=- 1 2 b=-1 c=4

．
則拋物線的解析式是：y=-

1

2

x²-x+4．

（2）拋物線的對稱軸是：x=-

-1

2×(- 1 2 )

=-1．
把x=-1代入拋物線的解析式得：y=-

1

2

+1+4=

9

2

，則頂點坐標是：（-1，

9

2

）．
在y=

1

2

x+2中，令x=-1，解得：y=

3

2

．
則

9

2

-

3

2

=3，因而m的范圍是：3＜m＜

9

2

．

（3）作EF∥AQ，使EF與拋物線只有一個公共點．
設EF的解析式是y=

1

2

x+a，
把y=

1

2

x+a代入拋物線的解析式得：

1

2

x+a=-

1

2

x²-x+4，
即-

1

2

x²-

3

2

x+4-a=0，
即：x²+3x+2a-8=0，
△=9-4（2a-8）=9-8a+32=41-8a=0，
解得：a=

41

8

．
則EF的解析式是：y=

1

2

x+

41

8

．
直線y=

1

2

x+2與y=

1

2

x+

41

8

之間與y軸的交點之間的距離是：

25

8

．
則t的范圍是：

15

2

≤t＜

125

16

．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法等知識點．主要考查學生數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．