Question

（2013•永州模擬）如圖，拋物線y=mx²+2mx-3m（m≠0）的頂點(diǎn)為H，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)），點(diǎn)H、B關(guān)于直線l：y=

3

3

x+

3

對稱，過點(diǎn)B作直線BK∥AH交直線l于K點(diǎn)．
（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，并證明點(diǎn)A在直線l上；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）將此拋物線向上平移，當(dāng)拋物線經(jīng)過K點(diǎn)時(shí)，設(shè)頂點(diǎn)為N，直接寫出NK的長．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程，即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線l的解析式，計(jì)算即可證明點(diǎn)A在直線上；
（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AH=AB，根據(jù)直線l的解析式求出直線l與x軸的夾角為30°，然后得到∠HAB的度數(shù)是60°，過點(diǎn)H作HC⊥x軸于點(diǎn)C，然后解直角三角形求出AC、HC，從而得到OC的長度，然后寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)，再把點(diǎn)H的坐標(biāo)代入拋物線解析式計(jì)算求出m的值，即可得解；
（3）根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出直線BK的解析式的k值，然后利用待定系數(shù)法求出直線BK的解析式，與直線l的解析式聯(lián)立求解得到點(diǎn)K的值，再利用拋物線解析式求出相應(yīng)橫坐標(biāo)上的點(diǎn)，從而求出拋物線向上移動的距離，然后得到平移后的拋物線的頂點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可得到NK的值．

解答：解：（1）令y=0，則mx²+2mx-3m=0（m≠0），
解得x₁=-3，x₂=1，
∵B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），

證明：∵直線l：y=

3

3

x+

3

，
當(dāng)x=-3時(shí)，y=

3

3

×（-3）+

3

=-

3

+

3

=0，
∴點(diǎn)A在直線l上；

（2）∵點(diǎn)H、B關(guān)于過A點(diǎn)的直線l：y=

3

3

x+

3

對稱，
∴AH=AB=4，
設(shè)直線l與x軸的夾角為α，則tanα=

3

3

，
所以，∠α=30°，
∴∠HAB=60°，
過頂點(diǎn)H作HC⊥AB交AB于C點(diǎn)，
則AC=

1

2

AB=2，HC=

42-22

=2

3

，
∴頂點(diǎn)H（-1，2

3

），
代入拋物線解析式，得m×（-1）²+2m×（-1）-3m=2

3

，
解得m=-

3

2

，
所以，拋物線解析式為y=-

3

2

x²-

3

x+

3 3

2

；

（3）∵過點(diǎn)B作直線BK∥AH交直線l于K點(diǎn)，
∴直線BK的k=tan60°=

3

，
設(shè)直線BK的解析式為y=

3

x+b，
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴

3

+b=0，
解得b=-

3

，
∴直線BK的解析式為y=

3

x-

3

，
聯(lián)立

y= 3 x- 3 y= 3 3 x+ 3

，
解得

x=3 y=2 3

，
∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（3，2

3

），
當(dāng)x=3時(shí)，y=-

3

2

×3²-

3

×3+

3 3

2

=-6

3

，
∴平移后與點(diǎn)K重合的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，-6

3

），
平移距離為2

3

-（-6

3

）=8

3

，
∵平移前頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2

3

），
2

3

+8

3

=10

3

，
∴平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)N（-1，10

3

），
∴NK=

(-1-3)2+(10 3 -2 3 )2

=

208

=4

13

，
所以，NK的長是4

13

．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要涉及求與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，軸對稱圖形的性質(zhì)，解直角三角形，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，聯(lián)立兩直線解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式，綜合性較強(qiáng)，難度較大．