Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于點O，過O作BC的平行線分別交AB，CD于點E，F(xiàn)．
（1）求證：OE=OF；
（2）若AD=3，BC=4，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）由△AOE和△ABC相似可得

OE

BC

=

AO

AC

，由△DOF和△DBC相似可得

OF

BC

=

DF

DC

，由△ACD和△OCF相似可得

AO

AC

=

DF

DC

，從而得到

OE

BC

=

OF

BC

，即可得證；
（2）根據(jù)△AOD和△BOC相似求出

AO

OC

，再求出

AO

AC

，然后求出OE，根據(jù)EF=OE+OF即可．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，
∴△AOE∽△ABC，△DOF∽△DBC，
∴

OE

BC

=

AO

AC

，

OF

BC

=

DF

DC

，
又∵由AD∥BC得，△ACD∽△OCF，
∴

AO

AC

=

DF

DC

，
∴

OE

BC

=

OF

BC

，
∴OE=OF；

（2）解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△BOC，
∴

AO

OC

=

AD

BC

=

3

4

，
∴

AO

AC

=

3

3+4

=

3

7

，
∵BC=4，
∴

OE

4

=

AO

AC

=

3

7

，
解得OE=

12

7

，
∴EF=OE+OF=

12

7

+

12

7

=

24

7

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，根據(jù)平行得到三角形相似是解題的關鍵，也是本題考查的重點．