Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（1，

3

2

），其頂點E的橫坐標(biāo)為2，此拋物線與x軸分別交于B（x₁，0），C（x₂，0）兩點，且x₂-x₁=4．
（1）求此拋物線的解析式及頂點坐標(biāo)；
（2）連接EB、EC，判斷△BEC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了頂點E的橫坐標(biāo)為2，即拋物線的對稱軸為x=2，聯(lián)立B、C的橫坐標(biāo)差，即可求得B、C的坐標(biāo)，然后將A、B、C三點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程求出該拋物線的解析式，進(jìn)而可將x=2代入上式求得頂點E的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)B、E、C三點坐標(biāo)，可求得△BEC三邊的長，然后根據(jù)它們之間的關(guān)系來判斷△BEC的形狀．

解答：解：（1）∵拋物線頂點橫坐標(biāo)為2，x₂-x₁=4，
∴x₁=0，x₂=4，
∴B（0，0），C（4，0），
由于拋物線經(jīng)過A、B、C三點，則有：

a+b+c= 3 2 c=0 16a+4b+c=0

，
解得：

a=- 1 2 b=2 c=0

，
∴拋物線：y=-

1

2

x2+2x，
∵當(dāng)x=2時，y=2，
∴E（2，2）；

（2）在△EBC中，x=2垂直平分BC，
EB=EC=

22+22

=2

2

，BC=4，
而EB²+EC²=16=BC²，
∴△EBC是等腰直角三角形．

點評：此題考查的是二次函數(shù)解析式的確定以及等腰直角三角形的判定，屬基礎(chǔ)題，較容易．