Question

如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)O是斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)A為半徑作⊙O與AC邊交于點(diǎn)P，
（1）當(dāng)OA=

5

2

時(shí)，求點(diǎn)O到BC的距離；
（2）如圖1，當(dāng)OA=

15

8

時(shí)，求證：直線BC與⊙O相切；此時(shí)線段AP的長是多少？
（3）若BC邊與⊙O有公共點(diǎn)，直接寫出OA的取值范圍；
（4）若CO平分∠ACB，則線段AP的長是多少？

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，易證△ODB∽△ACB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解；
（2）首先證明直線BC與⊙O相切，則四邊形OECF為矩形，即可求得AF，進(jìn)而求得AP的長；
（3）首先求得圓的半徑，根據(jù)BC邊與⊙O有公共點(diǎn)即直線與圓相切或相交，則圓心到直線的距離小于或等于圓的半徑，即可求解；
（4）過點(diǎn)O作OG⊥AC于點(diǎn)G，OH⊥BC于點(diǎn)H，則四邊形OGCH是矩形，矩形OGCH是正方形，設(shè)正方形OGCH的邊長為x，則AG=3-x，易證
△AOG∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等即可求解．

解答：解：
（1）在Rt△ABE中，AB=

AC2+BC2

=

32+42

=5．（1分）
過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，則OD∥AC，
∴△ODB∽△ACB，∴

OD

AC

=

OB

AB

，∴

OD

3

=

5- 5 2

5

，∴OD=

3

2

，
∴點(diǎn)O到BC的距離為

3

2

．（3分）

（2）證明：過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，
∵△OEB∽△ACB，∴

OE

AC

=

OB

AB

∴

OE

3

=

5- 15 8

5

，∴OE=

15

8

．
∴直線BC與⊙O相切．（5分）
此時(shí)，四邊形OECF為矩形，
∴AF=AC-FC=3-

15

8

=

9

8

，
∵OF⊥AC，∴AP=2AF=

9

4

．（7分）

（3）

15

8

≤OA≤

5

2

；（9分）

（4）過點(diǎn)O作OG⊥AC于點(diǎn)G，OH⊥BC于點(diǎn)H，
則四邊形OGCH是矩形，且AP=2AG，
又∵CO平分∠ACB，∴OG=OH，∴矩形OGCH是正方形．（10分）
設(shè)正方形OGCH的邊長為x，則AG=3-x，
∵OG∥BC，∵△AOG∽△ABC，
∴

OG

BC

=

AG

AC

，∴AG=

3

4

x，
∴3-x=

3

4

x，∴x=

12

7

，∴AP=2AG=

18

7

．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，并且與矩形、正方形的判定相結(jié)合，是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的題目．