Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，DE⊥DB交AB于點E，設⊙O是△BDE的外接圓．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若DE=2，BD=4，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接OD，首先由DE⊥DB，⊙O是△BDE的外接圓，證明BE是直徑，點O是BE的中點，由∠C=90°得到∠DBC+∠BDC=90°，由BD為∠ABC的平分線得到∠ABD=∠DBC，又OB=OD，利用等腰三角形的性質得到∠ABD=∠ODB，然后等量代換即可證明題目結論；
（2）首先利用勾股定理求出BE=2

5

，OE=

5

，然后利用已知條件證明△ADB∽△AED，利用等腰三角形的性質得到
AD=2AE，在Rt△AOD中由AO²=OD²+AD²，可以列出關于AE的方程，解方程即可解決問題．

解答：（1）證明：連接OD，
∵DE⊥DB，⊙O是△BDE的外接圓，
∴BE是直徑，點O是BE的中點，
∵∠C=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，
又BD為∠ABC的平分線，
∴∠ABD=∠DBC，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
則∠ODB+∠BDC=90°即∠ODC=90°
又∵OD是⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線．（方法不唯一，參照給分）

（2）解：∵DE⊥DB，DE=2，BD=4，
∴BE=2

5

，OE=

5

，
∴∠ABD=∠ADE，又∠A為公共角，
∴△ADB∽△AED，則有

AE

AD

=

ED

DB

=

2

4

，
∴AD=2AE，
在Rt△AOD中，AO²=OD²+AD²，
即（

5

+AE）²=（

5

）²+（2AE）²，
解得AE=

2

3

5

或AE=0（舍去），
所以AE=

2

3

5

．

點評：本題綜合考查了切線的性質和判定、相似三角形的性質與判定、角平分線的性質及勾股定理的綜合運用．綜合性比較強，對于學生的能力要求比較高．