Question

某單位化50萬元買回一臺高科技設(shè)備．根據(jù)對這種型號設(shè)備的跟蹤調(diào)查顯示，該設(shè)備投入使用后，若將養(yǎng)護(hù)和維修的費(fèi)用均攤到每一天，則有結(jié)論：第x天應(yīng)付的養(yǎng)護(hù)和維修費(fèi)為[

1

4

(x-1)+500]元．
（1）如果將該設(shè)備從開始投入使用到報(bào)廢所付的養(yǎng)護(hù)費(fèi)，維修費(fèi)及設(shè)備購買費(fèi)之和均攤到每一天，叫做日平均損耗．請你將日平均損耗y（元）表示為x（天）的函數(shù)；
（2）按照此行業(yè)的技術(shù)和安全管理要求，當(dāng)此設(shè)備的日平均損耗達(dá)到最小值時(shí)，就應(yīng)當(dāng)報(bào)廢．問該設(shè)備投入使用多少天應(yīng)當(dāng)報(bào)廢？
注：在解本題時(shí)可能要用到以下兩個(gè)知識點(diǎn)，如果需要可直接引用結(jié)論．
①對于任意正整數(shù)n，有1+2+3+…+n=

n (n+1)

2

；
②對于任意正數(shù)a，b和正實(shí)數(shù)x，有y=

a

x

+

x

b

≥2

ax xb

=2

a b

，當(dāng)

x

a

=

b

x

時(shí)，函數(shù)y可取到最小值2

a b

．

Answer 1

分析：（1）算出從第一天到第x天所付的養(yǎng)護(hù)費(fèi)，維修費(fèi)總和為500+（500+

1

4

）+[500+

1

4

×2]+…+[

1

4

(x-1)+500]=[500x+

x(x-1)

8

]元，加上設(shè)備購買費(fèi)，除以x得出日平均損耗；
（2）利用任意正數(shù)a，b和正實(shí)數(shù)x，有y=

a

x

+

x

b

≥2

ax xb

=2

a b

，當(dāng)

x

a

=

b

x

時(shí)，函數(shù)y可取到最小值2

a b

整理（1）的函數(shù)解決問題．

解答：解：（1）由題意知從第一天到第x天所付的養(yǎng)護(hù)費(fèi)，維修費(fèi)總和為，
500+（500+

1

4

）+[500+

1

4

×2]+…+[

1

4

(x-1)+500]=[500x+

x(x-1)

8

]元，
日平均損耗函數(shù)y=[500x+

x(x-1)

8

+500000]÷x=

3999

8

+

x

8

+

500000

x

；

（2）由y=

3999

8

+

x

8

+

500000

x

≥

3999

8

+2

x 8 • 500000 x

=

3999

8

+500=

7999

8

，
即此設(shè)備的日平均損耗達(dá)到最小值為

7999

8

元，就應(yīng)當(dāng)報(bào)廢，
因此

1

4

(x-1)+500=

7999

8

，
解得x=2000.5，
故設(shè)備投入使用2000天應(yīng)當(dāng)報(bào)廢，
答：該設(shè)備投入使用2000天應(yīng)當(dāng)報(bào)廢．

點(diǎn)評：此題主要考查連續(xù)自然數(shù)連加計(jì)算公式：1+2+3+…+n=

n (n+1)

2

；以及利用任意正數(shù)a，b和正實(shí)數(shù)x，有y=

a

x

+

x

b

≥2

ax xb

=2

a b

，當(dāng)

x

a

=

b

x

時(shí)，函數(shù)y可取到最小值2

a b

解決問題．