Question

【題目】如圖，一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（0，1），它的頂點為B（1，3）．

（1）求這個二次函數(shù)的表達式；

（2）過點A作AC⊥AB交拋物線于點C，點P是直線AC上方拋物線上的一點，當△APC面積最大時，求點P的坐標和△APC的面積最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x2+4x+1；（2）S△APC最大值為，此時P(,)

【解析】

（1）根據(jù)題意設(shè)這個二次函數(shù)的表達式為y＝a(x﹣1)2+3，將A(0,1)代入解方程即可求解；

（2）直線AB與x軸交于點D，直線AC與x軸交于點E,先求得直線AC的解析式，即可求得拋物線和直線AC的交點C的坐標，過P作PQ∥y軸交AC于Q，根據(jù)拋物線解析式和直線AC的解析式設(shè)出P，Q點坐標，橫坐標用t表示，即可表示出PQ，根據(jù)S△APC＝PQ|xC﹣xA|，得出關(guān)于t的二次函數(shù)，化為頂點式，即可得到當t為何值時，S△APC有最大值．

（1）∵拋物線的頂點為B(1,3)

∴設(shè)這個二次函數(shù)的表達式為y＝a(x﹣1)2+3

∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(0,1)

∴a(0﹣1)2+3=1

解得：a＝﹣2

∴二次函數(shù)的表達式為y＝-2(x﹣1)2+3，即y＝﹣2x2+4x+1

故答案為：y＝﹣2x2+4x+1

（2）直線AB與x軸交于點D，直線AC與x軸交于點E，如圖所示

∵A(0,1)，B(1,3)

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b

∴

∴y=2x+1

令2x+1=0

解得x=

∴OD=

，

∵AC⊥AB

∴∠DAE=90°

∴

∴

解得OE=2

∴E(2,0)

設(shè)直線AC的解析式為y＝mx+n

∵直線AC經(jīng)過A點，E點

∴

∴

∴直線AC的解析式為y＝x+1

令x+1=﹣2x2+4x+1

解得：或

∴C(,)

過P作PQ∥y軸交AC于Q

設(shè)P(t,﹣2t2+4t+1)，則Q(t,t+1)

∴PQ＝(﹣2t2+4t+1)﹣(t+1)＝﹣2t2+t

∴S△APC＝PQ|xC﹣xA|＝(﹣2t2+t)(﹣0)＝﹣(t﹣)2+

∴當t＝時，S△APC有最大值，此時，P(,)

故答案為：S△APC最大值為，此時P(,)