Question

【題目】已知一次函數(shù)y=-x+6的圖象與坐標軸交于A、B點（如圖），AE平分∠BAO，交x軸于點E．

（1）求點B的坐標；

（2）求直線AE的表達式；

（3）過點B作BF⊥AE，垂足為F，連接OF，試判斷△OFB的形狀，并求△OFB的面積．

Answer 1

【答案】（1）B（8，0）；（2）直線AE的表達式為y=-2x+6； (3) △OFB為等腰三角形，S△OBF=8.

【解析】試題分析：（1）對于一次函數(shù)y=-x+6，令y=0和x=0求出對應(yīng)的x與y的值，確定出OA及OB的長，即可確定出B的坐標；

（2）由（1）得出A的坐標，利用勾股定理求出AB的長，過E作EG垂直于AB，由AE為角平分線，利用角平分線定理得到EO=EG，利用HL可得出直角三角形AOE與直角三角形AGE全等，可得出AO=AG，設(shè)OE=EG=x，由OB-OE表示出EB，由AB-AG=AB-AO表示出BG，在直角三角形BEG中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OE的長，得出E的坐標，設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b（k≠0），將A和E的坐標代入，得到關(guān)于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，即可得到直線AE的解析式；

（3）延長BF與y軸交于K點，由AF為角平分線得到一對角相等，再由AF與BF垂直得到一對直角相等，以及AF為公共邊，利用ASA得出三角形AKF與三角形ABF全等，可得出AK=AB，利用三線合一得到F為BK的中點，在直角三角形OBK中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OF為BK的一半，即OF=BF，過F作FH垂直于x軸于H點，利用三線合一得到H為OB的中點，由OB的長求出OH的長，即為F的橫坐標，將求出的橫坐標代入直線AE解析式中求出對應(yīng)的縱坐標，即為HF的長，以O(shè)B為底，F(xiàn)H為高，利用三角形的面積公式即可求出三角形BOF的面積；

試題解析：（1）對于y=- x+6，

當x=0時，y=6；當y=0時，x=8，

∴OA=6，OB=8，

在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：AB=10，

則A（0，6），B（8，0）；

（2）過點E作EG⊥AB，垂足為G

∵AE平分∠BAO，EO⊥AO，EG⊥AG，

∴EG=OE，

在Rt△AOE和Rt△AGE中，

∴Rt△AOE≌Rt△AGE（HL），

∴AG=AO，

設(shè)OE=EG=x，則有BE=8-x，BG=AB-AG=10-6=4，

在Rt△BEG中，EG=x，BG=4，BE=8-x，

根據(jù)勾股定理得：x2+42=（8-x）2，

解得：x=3，

∴E（3，0），

設(shè)直線AE的表達式為y=kx+b（k≠0），

將A（0，6），E（3，0）代入y=kx+b得： ，解得

則直線AE的表達式為y=-2x+6；

(3)延長BF交y軸于點K，

∵AE平分∠BAO，

∴∠KAF=∠BAF，

又BF⊥AE，

∴∠AFK=∠AFB=90°

∵AF=AF

∴△AFK≌△AFB，

∴FK=FB，即F為KB的中點，

又∵△BOK為直角三角形，

∴OF= BK=BF，

∴△OFB為等腰三角形，

過點F作FH⊥OB，垂足為H（如圖2所示），

∵OF=BF，F(xiàn)H⊥OB，

∴OH=BH=4，

∴F點的橫坐標為4，

設(shè)F（4，y），將F（4，y）代入y=-2x+6，得：y=-2，

FH=|-2|=2，

則S△OBF= OBFH= ×8×2=8；