Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝12，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FD⊥AB交AC于點(diǎn)D．

（1）若△AFD以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線FB向右移動(dòng)，得到△A1F1D1，當(dāng)F1與點(diǎn)B重合時(shí)停止移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，△A1F1D1與△CBF重疊部分的面積記為S．直接寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式．

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，如果D1，B，F構(gòu)成的△D1BF為等腰三角形，求出t值．

Answer 1

【答案】（1）（1）當(dāng)0＜t≤1時(shí)， S＝2t2；當(dāng)1＜t≤2時(shí)， S＝﹣t2+6t﹣3；當(dāng)2＜t≤3時(shí)，﹣t2+12t﹣9；（2）t的值為3﹣或或．

【解析】

（1）分三種情形：①如圖1中，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，重疊部分是△PFF1．②如圖2中，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，重疊部分是四邊形FPD1F1．③如圖3中，當(dāng)4＜t≤6時(shí)，重疊部分是五邊形FQRPF1．分別求解即可解決問(wèn)題．

（2）分三種情形：BD＝D1F，BD＝BD1，D1F＝D1B分別求解即可．

解：（1）①如圖1中，當(dāng)0＜t≤1時(shí)，重疊部分是△PFF1，

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，FD⊥AB

∴∠B=60°，CF=BF

∴△FBC為等邊三角形

∴∠P FF1=60°

∴∠FPF1=30°

由題意可得FF1=2t

∴PF=2 FF1=4t，根據(jù)勾股定理可得PF1=2t

S＝FF1PF1＝×2t2t＝2t2．

②如圖2中，當(dāng)1＜t≤2時(shí)，重疊部分是四邊形FPD1F1，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于

∵AF=AB=6

在△AFD中，設(shè)DF==x，則AD=2x

根據(jù)勾股定理可得x2＋62=（2x）2

解得：x=2

由題意可得FF1=2t

∴FA1=6－2t ，

∵∠FPA1=∠CFH－∠PA1F=30°

∴PF= FA1=6－2t ，

∴PH=PF=（3﹣t）

S＝﹣＝AF·DF﹣A1F·PH＝﹣t2+6t﹣3．

③如圖3中，當(dāng)2＜t≤3時(shí)，重疊部分是五邊形FQRPF1，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB

由②同理FA1=6－2t ，QH=（3﹣t）

∴BF1=BF－FF1=6－2t，PF1= BF1=（6－2t）

∴D1P=DF－PF1=2t－4，

∴D1R= D1P=t－2，PR= D1P=3t－6

由平移可知∠BRQ=∠BCA=90°

∴∠D1RP=90°

S＝﹣﹣＝AF·DF﹣A1F·PH﹣D1R·PR＝﹣t2+12t﹣9．

綜上所述：當(dāng)0＜t≤1時(shí)， S＝2t2；當(dāng)1＜t≤2時(shí)， S＝﹣t2+6t﹣3；當(dāng)2＜t≤3時(shí)，﹣t2+12t﹣9；

（2）①如圖4中，當(dāng)BF＝BD1＝6時(shí)，

在Rt△BF1D1中，BF1＝＝＝2，

∴AA1＝FF1＝6﹣2，

∴t＝AA1÷2=3﹣．

②如圖5中，當(dāng)D1F＝D1B時(shí)，

∵D1F1⊥FB

∴AA1＝FF1＝F1B＝3，

∴t＝AA1÷2=．

③如圖6中，當(dāng)FD1＝FB＝6時(shí)，

根據(jù)勾股定理可得FF1＝

∴AA1＝FF1＝2，

∴t＝AA1÷2=，

綜上所述，滿足條件的t的值為3﹣或或．