Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（，0）和點(diǎn)B（1，），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)D在對稱軸的右側(cè)，x軸上方的拋物線上，且∠BDA=∠DAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，連接BD，交拋物線對稱軸于點(diǎn)E，連接AE．

①判斷四邊形OAEB的形狀，并說明理由；

②點(diǎn)F是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是直線BD的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M與點(diǎn)B不重合，當(dāng)∠BMF=∠MFO時(shí)，請直接寫出線段BM的長．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）。

（2）D（4，）。

（3）①四邊形OAEB是平行四邊形。理由如見解析

②線段BM的長為或。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)在曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式。

（2）由∠BDA=∠DAC，可知BD∥x軸，點(diǎn)B與點(diǎn)D縱坐標(biāo)相同，解一元二次方程求出點(diǎn)D的坐標(biāo)。

（3）①由BE與OA平行且相等，可判定四邊形OAEB為平行四邊形。

②點(diǎn)M在點(diǎn)B的左右兩側(cè)均有可能，需要分類討論：

∵O（0，0），B（1，），F(xiàn)為OB的中點(diǎn)，∴F（，）。

過點(diǎn)F作FN⊥直線BD于點(diǎn)N，則FN=﹣=，BN=1﹣=。

在Rt△BNF中，由勾股定理得：。

∵∠BMF=∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，∴∠FBM=2∠BMF。

（I）當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)B右側(cè)時(shí)．

在直線BD上點(diǎn)B左側(cè)取一點(diǎn)G，使BG=BF=，連接FG，則GN=BG﹣BN=1，

在Rt△FNG中，由勾股定理得：。

∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG。

又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，

∴∠BFG=∠BMF。

又∵∠MGF=∠MGF，∴△GFB∽△GMF。

∴，即。

∴BM=。

（II）當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，

設(shè)BD與y軸交于點(diǎn)K，連接FK，則FK為Rt△KOB斜邊上的中線，

∴KF=OB=FB=�！唷螰KB=∠FBM=2∠BMF。

又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，∴∠BMF=∠MFK�！郙K=KF=。

∴BM=MK+BK=+1=。

綜上所述，線段BM的長為或。