Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD的邊AD在x軸上，點C在y軸的負半軸上，直線BC∥AD，且BC=3，OD=2，將經(jīng)過A、B兩點的直線l：y=﹣2x﹣10向右平移，平移后的直線與x軸交于點E，與直線BC交于點F，設(shè)AE的長為t（t≥0）．

（1）四邊形ABCD的面積為；
（2）設(shè)四邊形ABCD被直線l掃過的面積（陰影部分）為S，請直接寫出S關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（3）當t=2時，直線EF上有一動點，作PM⊥直線BC于點M，交x軸于點N，將△PMF沿直線EF折疊得到△PTF，探究：是否存在點P，使點T恰好落在坐標軸上？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）20
（2）

解：①當0≤t≤3時，∵BC∥AD，AB∥EF，

∴四邊形ABFE是平行四邊形，

∴S=AEOC=4t；

②當3≤t＜7時，如圖1，

∵C（0，﹣4），D（2，0），

∴直線CD的解析式為：y=2x﹣4，

∵E′F′∥AB，BF′∥AE′

∴BF′=AE=t，

∴F′（t﹣3，﹣4），

直線E′F′的解析式為：y=﹣2x+2t﹣10，

解 得，

∴G（ ，t﹣7），

∴S=S四邊形ABCD﹣S△DE′G=20﹣ ×（7﹣t）×（7﹣t）=﹣ t2+7t﹣ ，

③當t≥7時，S=S四邊形ABCD=20，

綜上所述：S關(guān)于t的函數(shù)解析式為：S= ；

（3）

解：當t=2時，點E，F(xiàn)的坐標分別為（﹣3，0），（﹣1，﹣4），

此時直線EF的解析式為：y=﹣2x﹣6，

設(shè)動點P的直線為（m，﹣2m﹣6），

∵PM⊥直線BC于M，交x軸于n，

∴M（m，﹣4），N（m，0），

∴PM=|（﹣2m﹣6）﹣（﹣4）|=2|m+1|，PN=（﹣2m﹣6|=2（m+3|，F(xiàn)M=|m﹣（﹣1）|=|m+1，

①假設(shè)直線EF上存在點P，使點T恰好落在x軸上，

如圖2，連接PT，F(xiàn)T，則△PFM≌△PFT，

∴PT=PM=2|m+1|，F(xiàn)T=FM=|m+1|，∴ =2，

作FK⊥x軸于K，則KF=4，

由△TKF∽△PNT得， =2，

∴NT=2KF=8，

∵PN2+NT2=PT2，

∴4（m+3）2+82=4（m+1）2，

解得：m=﹣6，∴﹣2m﹣6=﹣6，

此時，P（﹣6，6）；

②假設(shè)直線EF上存在點P，使點T恰好落在y軸上，

如圖3，連接PT，F(xiàn)T，則△PFM≌△PFT，

∴PT=PM=2|m+1|，F(xiàn)T=FM=|m+1|，

∴ =2，

作PH⊥y軸于H，則PH=|m|，

由△TFC∽△PTH得， ，

∴HT=2CF=2，

∵HT2+PH2=PT2，

即22+m2=4（m+1）2，

解得：m=﹣ ，m=0（不合題意，舍去），

∴m=﹣ 時，﹣2m﹣6=﹣ ，

∴P（﹣ ，﹣ ），

綜上所述：直線EF上存在點P（﹣6，6）或P（﹣ ，﹣ ）使點T恰好落在y軸上．

【解析】解：（1）在y=﹣2x﹣10中，當y=0時，x=﹣5，
∴A（﹣5，0），
∴OA=5，
∴AC=7，
把x=﹣3代入y=﹣2x﹣10得，y=﹣4
∴OC=4，
∴四邊形ABCD的面積= （3+7）×4=20；
所以答案是：20；
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行四邊形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分，以及對相似三角形的應(yīng)用的理解，了解測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．