Question

【題目】如圖，已知⊙O上依次有A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)， = ，連接AB、AD、BD，弦AB不經(jīng)過圓心O，延長AB到E，使BE=AB，連接EC，F(xiàn)是EC的中點(diǎn)，連接BF．
（1）若⊙O的半徑為3，∠DAB=120°，求劣弧 的長；
（2）求證：BF= BD；
（3）設(shè)G是BD的中點(diǎn)，探索：在⊙O上是否存在點(diǎn)P（不同于點(diǎn)B），使得PG=PF？并說明PB與AE的位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OB，OD，

∵∠DAB=120°，∴ 所對圓心角的度數(shù)為240°，

∴∠BOD=360°﹣240°=120°，

∵⊙O的半徑為3，

∴劣弧 的長為： ×π×3=2π；

（2）證明：連接AC，

∵AB=BE，∴點(diǎn)B為AE的中點(diǎn)，

∵F是EC的中點(diǎn)，∴BF為△EAC的中位線，

∴BF= AC，

∵ = ，

∴ + = + ，

∴ = ，

∴BD=AC，

∴BF= BD；

（3）解：過點(diǎn)B作AE的垂線，與⊙O的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，

∵BF為△EAC的中位線，

∴BF∥AC，

∴∠FBE=∠CAE，

∵ = ，

∴∠CAB=∠DBA，

∵由作法可知BP⊥AE，

∴∠GBP=∠FBP，

∵G為BD的中點(diǎn)，

∴BG= BD，

∴BG=BF，

在△PBG和△PBF中，

，

∴△PBG≌△PBF（SAS），

∴PG=PF．

【解析】（1）利用圓心角定理進(jìn)而得出∠BOD=120°，再利用弧長公式求出劣弧 的長；（2）利用三角形中位線定理得出BF= AC，再利用圓心角定理得出 = ，進(jìn)而得出BF= BD；（3）首先過點(diǎn)B作AE的垂線，與⊙O的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，得出BP⊥AE，進(jìn)而證明△PBG≌△PBF（SAS），求出PG=PF．