Question

如圖，已知點(diǎn)P在x軸上，⊙P與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-2）．
（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）在所給的坐標(biāo)系中畫出拋物線的草圖；
（3）觀察圖象，當(dāng)x滿足條件

 

時(shí)，y＜0．

Answer 1

分析：（1）連接AC、BC，由圓周角定理知∠ACB=90°，在Rt△ACB中，CO⊥AB，利用射影定理即可求得OA的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得該拋物線的解析式；
（2）通過描點(diǎn)、連線畫出（1）題所得拋物線的函數(shù)圖象即可；
（3）由圖可知，拋物線的開口向上，在A-B之間拋物線的圖象在x軸下方，可據(jù)此求出y＜0時(shí)，自變量的取值范圍．

解答：解：（1）連接AC、BC．
∵AB是⊙P的直徑，
∴∠ACB=90°
在Rt△ACB中，OC⊥AB，由射影定理得：
OC²=OA•OB，即OA=OC²÷OB=4，
∴A（-4，0）．
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+4）（x-1），依題意有：
a（0+4）（0-1）=-2，
解得a=

1

2

．
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

（x+4）（x-1）=

1

2

x²+

3

2

x-4；

（2）如右圖；

（3）由圖知：在A、B之間的拋物線圖象都在x軸下方，已知A（-4，0），B（1，0），
故當(dāng)-4＜x＜1時(shí)，y＜0．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理、二次函數(shù)解析式的確定以及圖象的畫法，要求學(xué)生能夠根據(jù)函數(shù)圖象來判斷不同的自變量取值范圍內(nèi)函數(shù)值的變化情況，屬于基礎(chǔ)題，需要熟練掌握．