Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的正方形ABCD的邊長(zhǎng)為acm（a＞2），B與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，邊AB在y軸正半軸，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿B→C→D方向，向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿A→B方向，向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．
（1）若t=1時(shí)，△BPQ的面積為3cm²，則a的值為多少？
（2）在（1）的條件下，以點(diǎn)P為圓心，作⊙P，使得⊙P與對(duì)角線BD相切如圖（b）所示，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P在CD上動(dòng)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的t，使得⊙P恰好經(jīng)過(guò)正方形ABCD的某一邊的中點(diǎn)？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出符合條件的t的值并直接寫(xiě)出直線PQ解析式（其中一種情形需有計(jì)算過(guò)程，其余的只要直接寫(xiě)出答案）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在（1）的條件下，且t＜

3

2

，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PQD是以PD為一腰的等腰三角形，在直線BD上找一點(diǎn)E，在x軸上找一點(diǎn)F，是否存在以E，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求出E，F(xiàn)兩點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=1時(shí)OP=2cm，BQ=（a-1）cm，根據(jù)△BPQ的面積為3cm²列出有關(guān)a的方程求得a值即可；
（2）當(dāng)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若⊙P經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)E，設(shè)⊙P切BD于M，則可得到CP=2t-4，根據(jù)勾股定理得到PM²=PE²=（2t-4）²+2²，然后在Rt△PMD中，根據(jù)DP=

2

PM得到DP²=2PM²，進(jìn)一步得到（8-2t）²=2[（2t-4）²+2²]求得t值后即可求得PQ的解析式；
（3）根據(jù)PD=QD得到Rt△DCP≌Rt△DAQ（HL），利用CP=AQ得到t=4-2t，求得t值和若PD=PQ，則PD²=PQ²，求得t值，然后求得點(diǎn)E、F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)t=1時(shí)OP=2cm，BQ=（a-1）cm，
∵△BPQ的面積為3cm²，
∴

1

2

BP•BQ=

1

2

×2×（a-1）=3，
解得：a=4．

（2）當(dāng)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若⊙P經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)E，設(shè)⊙P切BD于M，則CP=2t-4，PM²=PE²=（2t-4）²+2²，
而在Rt△PMD中，由于∠PDM=45°，
所以DP=

2

PM，即DP²=2PM²，
所以（8-2t）²=2[（2t-4）²+2²]．解得t=±

6

，負(fù)值舍去，
所以t=

6

．
所以當(dāng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若t=

6

，則⊙P恰好經(jīng)過(guò)正方形ABCD的某一邊的中點(diǎn)．
t=

6

，y=

3 6 -8

4

x+4-

6

；

（3）①若PD=QD，則Rt△DCP≌Rt△DAQ（HL）
所以CP=AQ．即t=4-2t，解得t=

4

3

．
②若PD=PQ，則PD²=PQ²，即4²+（4-2t）²=（4-t）²+（2t）²，
解得t=-4±4

2

，其中t=-4-4

2

＜0不合題意，舍去，
所以t=-4+4

2

．所以t=

4

3

或t=-4+4

2

時(shí)，△PQD是以PD為一腰的等腰三角形．
又t＜

3

2

，
所以t=

4

3

，E₁（

8

3

，

8

3

），F(xiàn)₁（

16

3

，0），E₂（-

8

3

，-

8

3

），F(xiàn)₂（-

16

3

，0），E₃（

8

3

，

8

3

），F(xiàn)₃（0，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的綜合知識(shí)，涉及到含相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大，尤其是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，給此題增加了一定的難度，因此此題屬于難題．